Yoni Nazarathy CV

207.2250
מבוא לתהליכים סטוכסטיים
N
∑
k
k = 1 k = 1
N
. S = ∑ X
:E[S]
n=
1
n
נחשב את
E[ S] = E[ X ] = E[ E[ X | N = n]]
N
∑
k
N n n
E[ X | N = n] = E[ X ] = EX = nEX
∑ ∑ ∑
k k k
k = 1 k = 1 k=
1
אבל
ולכן
ז"א כמצופה,‏ התוחלת של סכום אקראי היא תוחלת מספר האיברים בסכום כפול תוחלת גודל האיברים.‏
E[ X ] E[ X ]
i
j
E[ S] = E[ N( EX )] = ( EX )( EN)
נחשב את :Var(S)
כמובן שמתקיים
Var( S) = E[ S ] − E[ S] = E[ S ] − E[ N] E[ X ]
:( E S
2
[ ]
2 2 2 2 2
אם כך ראשית נחשב את המומנט השני של ) S
N
N
2 2 2
[ ] = [( ∑ k
) ] = [ [( ∑ k
) | = ]]
k= 1 k = 1
E S E X E E X N n
N
n
2 2
[( ∑ k
) | ] [( ∑ k
) ] [(
1
...
n)( 1
...
n)]
k = 1 k=
1
E X N = n = E X = E X + + X X + + X =
E[ X + X X + X X + ... + X X +
2
1 1 2 1 3 1
X X + X + X X + ... + X X +
+
...
+
2
2 1 2 2 3 2
2
n 1
+
n 2
+ ... +
n
]
X X X X X
i ≠ j
E[ X X ]
i
j
n
n
X , X ,....
1 2
אבל
בגלל האי-תלות של הסדרה
ולכן סכום זה שווה ל
אז גורמים מהסוג
כאשר
הם
–
2 2
E[ X1
] + ... + E[ X
n
] +∑ E[ X
i
] E[ X
j
]
i≠
j
n המחוברים הראשונים בביטוי לעיל כולם שווים ל
2
] X . ]E שאר המחוברים גם הם שווים וכולם שווים ל
N
∑
k = 1
⎛ n⎞
. ⎜ ⎟ 2 = n( n −1)
⎝ 2⎠
2
] X . E[ כמה כאלו יש?‏
אם כך קיבלנו:‏
E[( X ) | N = n] = nE[ X ] + n( n − 1) E[ X ] = nE[ X ] + n E[ X ] − nE[ X ]
k
2 2 2 2 2 2 2
ולכן
- 30 -