Yoni Nazarathy CV

207.2250
מבוא לתהליכים סטוכסטיים
ETk = E[ T0 + ( T1 − T0 ) + ... + ( Tk − Tk −1)] = ET0 + E[ T1 − T0 ] + ... + E[ Tk − Tk
−1]
=
1 k
= 0 + kE[ T ] = 0 + k = p p
1
q
Var( Tk
) = k p
2
q
p
2
לאחר שניזכר כי השונות של משתנה מקרי גיאומטרי היא
באופן דומה נקבל כי
דוגמא א-‏‎22‎‏:‏
נניח כי עבור סדרת ניסויי ברנולי אנו משלמים מחיר c עבור כל הצלחה.‏ ‏(לדוגמא:‏ אנו רוכבים על אופניים
כל יום ובכל פעם שיש פנצ'ר החלפת פנימית עולה כ ואנו קוראים לפנצ'ר הצלחה).‏ אם כך,‏ אנו יודעים
כי לאחר n ניסיונות תוחלת העלות היא
מדד מעניין יותר לעלות היא העלות הערך הנוכחי של העלויות אשר נגררות מהצלחותינו.‏ כלל ידוע בכלכלה
הוא ששקל שיש לנו היום שווה מחר קצת יותר ‏(צריך להכפיל ב 1 ועוד הריבית שאנו יכולים להרוויח על
השקל).‏ באופן דומה ניתן לומר כי שקלים אשר בידינו היום שווים לשקל ‏(כאשר
1 מחר
₪ 20
. EcN = cEN = cnp
n
n
0 < α < 1
(r ). α = 1 1) + אם כך α הוא מקדם ההיוון.‏ ולכן מחיר של c אשר נידרש לשלם מחר הוא בעצם אינו כל
כך גרוע היום הוא בסך הכול ואם נידרש לשלם 150 ימים אזי במונחי היום המחיר הוא
כי אם היום יש לנו α 150 c שקלים ואנו שומרים את אלו בבנק ומכפילים את הוננו בכל יום ב
(1+r)
cE
∞
∑
k = 1
α
T k
c בעוד
αc היום.‏
1
. (1 + ) = (1 + ) ( ) =
1+
r
E
∞
∑
k = 1
150 150 150 150
r α c r c c
cα
T k
.α 150 c
אזי כעבור 150 ימים בידינו:‏
אם כך,‏ תוחלת הערך הנוכחי מהעלויות הנגררות מהצלחותינו היא
או
או
.α בנקודה , NB( k, p)
. c
Eα T k
∞
∑
k = 1
Eα
T k
נבחין כי
אם כך נחשב את
היא הפו'‏ יוצרת ההסתברות של משתנה מקרי
. G
Tk
( α) = Eα
Tk
Tk T0 + ( T1 − T0 ) + ( T2 − T1 ) + ... + ( Tk −Tk −1 ) T0 T1 −T0 Tk −Tk
−1
G ( α) = Eα = Eα = Eα α ⋅...
⋅ α =
Tk
= Eα Eα ⋅... ⋅ Eα = E1
Eα Eα ⋅... ⋅ Eα = ( Eα
)
T0 T1 −T0 Tk
−Tk
−1 T1 T1 T1 T1
k
.T ~ ( )
1
Geom p
1
G α = Eα = α q p = pα αq = pα αq = pα
1−αq
k
עכשיו ידוע לנו כי
ואם כך:‏
∞ ∞ ∞
T1
i i−1 i−1
i
T
( ) ( ) ( )
1
∑ ∑ ∑
i= 1 i= 1 i=
0
1
.α <
1 − p
: c
∞
∑
k = 1
G
Tk
Eα
< 1 q α או
pα
( α) = ( )
1−αq
T k
וזאת עבור
k
ולכן
נותר כעת לחשב את
- 44 -