v - FSB

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 10
(4) Polje brzine u potencijalnom strujanju je bezcirkulacijsko (cirkulacija brzine po
zatvorenoj krivulji jednaka je nuli) jer je:
∂ϕ
Γ = ∫ v jdx
j = ∫ dx j = = 0
∂ ∫ dϕ
x
C
C j
C
Strujna funkcija (funkcija toka) u ravninskom strujanju
U ravninskom strujanju se slika strujanja ponavlja u međusobno paralelnim ravninama npr.
∂
paralelnim s 0x1x 2,
pa vrijedi v3 ≡ 0 i = 0 .
∂x
x2
0
3
Slika prikazuje strujnice u ravninskom potencijalnom strujanju. Vektor brzine v i je po
definiciji kolinearan s lukom strujnice dx i i okomit na krivulje ϕ = konst. (jer je
�
v = gradϕ
). Uvodimo strujnu funkciju (funkciju toka) ψ sa svojstvom da ψ = konst.
dx1 označuje strujnicu. Iz jednadžbe strujnice
v1 =
dx2
v2
slijedi v
�1 dx2 − v
�2
dx1
= 0
∂ψ ∂ψ
∂x2 ∂x1
�����
∂ψ
Ako je v1
=
∂x
2
i v2
∂ψ
=−
∂x
znači da će na strujnici biti konst.
2 1
1
dψ=
0→ ψ=
konst.
, onda će jednadžba strujnice prijeći u oblik dψ = 0 , što
ψ = S obzirom da je j
potencijala brzine ϕ i funkcije toka ψ
∂ϕ∂ψ v1
= =
∂x1 ∂x2
ili u polarnim koordinatama
∂ϕ∂ψ v2
= =−
v
∂x∂x v
i
ϕ = konst.
Gornje relacije su poznate pod nazivom Cauchy-Riemanovi uvjeti.
v r
ϑ
v
strujnica:
ψ = konst.
x 1
∂ϕ
= , slijedi veza između
∂x
∂ϕ
1 ∂ψ
= =
∂r
r ∂ϑ
1 ∂ϕ
∂ψ
= = −
r ∂ϑ
∂r
j