v - FSB

More documents

Recommendations

Info

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 6 ( x ) ( ) ∂v2 1 Dd 2 ∂v3 1 Ddx3 D22 = = i D33 = = ∂x2 dx2 Dt ∂x3 dx3 Dt Brzina relativne promjene obujma dV = dx1dx2dx3 elementa fluida je definirana izrazom 1 D( dV) 1 D( dx1dx2dx3) ∂v j � = = D11+ D22 + D33 = = divv dV Dt dx1dx2dx3 Dt ∂xj U nestlačivom strujanju fluida je gustoća fluida konstantna, pa nema promjene volumena ∂v j � čestica fluida što znači da mora biti = divv = 0 . ∂x j Članovi izvan glavne dijagonale govore o brzini kutne deformacije, tj. o brzini smanjenja kuta među bridovima početnog elementarnog paralelopipeda. Tako bi npr. vrijedilo Dθ12 ∂v2∂v1 = 2D12 = 2D21 = + , Dt ∂x ∂x 1 2 gdje je θ 12 kut između bridova dx 1 i 2 ostale komponente. dx iz početne konfiguracije. Analogno vrijedi i za Tenzor vrtložnosti Antisimetrični dio tenzora gradijenta brzine se naziva tenzorom vrtložnosti, a definiran je izrazom: 1⎛ ∂v ∂v ⎞ i j Vji = ⎜ − 2⎜ ⎟ xj x ⎟ ⎝∂ ∂ i ⎠ ili u simoličkom zapisu 1 � T � V = ( gradv−grad v) 2 Tablični prikaz komponenti tenzora vrtložnosti, koji ima tri po apsolutnoj vrijednosti različite komponente je 0 1 ⎛ ∂v2 ⎜ 2 ⎝ ∂x1 ∂v1 − ∂x2 ⎞ ⎟ ⎠ 1 ⎛ ∂v3 ⎜ 2 ⎝ ∂x1 ∂v1 − ∂x3 ⎞ ⎟ ⎠ V ji = 1 ⎛ ∂v1 ⎜ 2 ⎝ ∂x2 ∂v2 − ∂x1 ⎞ ⎟ ⎠ 0 1 ⎛ ∂v3 ⎜ 2 ⎝ ∂x2 ∂v2 − ∂x3 ⎞ ⎟ ⎠ 1 ⎛ ∂v1 ⎜ 2 ⎝ ∂x3 ∂v3 − ∂x1 ⎞ ⎟ ⎠ 1 ⎛ ∂v2 ⎜ 2 ⎝ ∂x3 ∂v3 − ∂x2 ⎞ ⎟ ⎠ 0 Vektor vrtložnosti Vektor vrtložnosti je u matematičkom smislu dualni vektor tenzora gradijenta brzine, odnosno tenzora vrtložnosti, a definiran je izrazom: ∂v � i � Ωk = εkji = εkjiVji ili Ω = rotv ∂x j U fizikalnom smislu vektor vrtložnosti odgovara dvostrukoj vrijednosti vektora kutne brzine ω � � � ( Ω = 2ω) kojom rotira čestica fluida. Kod krutog tijela vektor kutne brzine je jedan te isti za sve čestice tijela, dok pri strujanju fluida on može biti različit za svaku česticu fluida. Strujanje fluida kod kojega je vektor vrtložnosti identički jednak nuli � ( rotv = 0 ) je po definiciji bezvrtložno, odnosno potencijalno strujanje. Komponente tenzora vrtložnosti mogu se prikazati preko komponenti vektora vrtložnosti ili komponenata vektor kutne brzine rotacije, u obliku 1 V ji = εkjiΩk= εkjiωk 2
MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 7 Ako se u polaznom izrazu za prirast brzine dvi = vBi − vAi u dvije bliske točke A i B (udaljene za dx j ) gradijent brzine prikaže s pomoću tenzora brzine deformacije i vektora kutne brzine, dobije se izraz za brzinu u točki B izraženu s pomoću brzine u točki A vBi = v �Ai + Djidxj + εikjωkdxj �� translacija deformacija sferno gibanje Gornji izraz označuje sadržaj prvog Helmholtzovog teorema koji kaže da se gibanje dviju bliskih točaka kontinuuma može prikazati zbrojem translacijskog i sfernog gibanja (kao kod krutog tijela) te deformacijskog gibanja. Jasno je da ako se fluid giba bez deformacija, da je to gibanje poput krutog tijela. Primjer takva gibanja je rotacija fluida zajedno s posudom oko vertikalne osi (slučaj relativnog mirovanja obrađen u MF I). Druga posebna klasa strujanja je ona kod koje nema rotacije čestica fluida, što znači da su vektori kutne brzine, odnosno vektor vrtložnosti, odnosno rotv � jednaki nuli. Kao što je prije rečeno (vidjeti sažetak prvih predavanja) vektorsko polje kojemu je rotor jednak nuli se naziva bezvrtložnim ili potencijalnim poljem, a koje je onda i bezcirkulacijsko i konzervativno. Takvo se polje može prikazati gradijentom skalarnog potencijala � v = gradϕ . Stoga će se i strujanje u kojem nema rotacija čestica fluida zvati potencijalnim strujanjem. OSNOVE NESTLAČIVOG POTENCIJALNOG STRUJANJA Primijećeno je da model potencijalnog strujanja fluida vrijedi u uvjetima kod kojih se viskozne sile mogu zanemariti. Bezvrtložno strujanje se pojavljuje npr. pri opstrujavanju tijela i to u području podalje od stijenke (gdje je utjecaj viskoznih sila zanemariv). Strujanje fluida koje nastaje pri samom početku gibanja tijela u mirujućoj tekućini, također se može opisati potencijalnim poljem brzine. U tehničkoj praksi se model potencijalnog strujanja primjenjuje u slučajevima u kojima su viskozne sile minorne u odnosu na inercijske i gravitacijske sile. Tipične primjene modela potencijalnog strujanja su u aerodinamici i teoriji turbostrojeva za određivanje sile uzgona pri optjecanju aeroprofila, te u brodogradnji npr. za određivanje otpora valova gibajućeg broda i u analizi ponašanja plivajućih struktura na valovima. Nestlačivo strujanje opisano je jednadžbom kontinuiteta ∂v j = 0 ∂x j i jednadžbom količine gibanja (II. Newtonovim zakonom) u kojoj su zanemarene viskozne sile (vidjeti npr. sažetak 3. predavanja iz MFI) ∂vi ∂vi ∂p ρai = ρ + ρvj = ρ fi − . ∂t ∂xj ∂xi Ako masena sila odgovara sili gravitacije, tada se ona može prikazati preko potencijala, ∂ρ gx3 koji za slučaj da je os x 3 usmjerena vertikalno uvis, glasi ρ fi =− ρgδi3=− . ∂xi Sustav gornje dvije jednadžbe (često se nazivaju i Eulerove jednadžbe) označuje sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a opisuje neviskozno strujanje fluida (koje može biti i vrtložno). Jednadžba kontinuiteta je linearna jednadžba, a jednadžba količine
Page 1 and 2: MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
Page 5: MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
Page 29 and 30: 1 σ jj =− p + μV 3 MEHANIKA FLU
Page 37 and 38: gdje je C ϕ koeficijent sličnosti
Page 57 and 58:
MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Prandtlova hipoteza puta miješanja
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
B MEHANIKA FLUIDA II - Što valja z
Page 87 and 88:
1000 CD MEHANIKA FLUIDA II - Što v
Page 89 and 90:
Page 91:
show all

v - FSB

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?