v - FSB

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 4
Za vektorsko polje kojemu je divergencija identički jednaka nuli ( divv � =0), kaže se da je
bezizvorno ili solenoidalno. Svako polje brzine u nestlačivom strujanju je bezizvorno, jer
zadovoljava jednadžbu kontinuiteta oblika divv � =0.
Svako bezizvorno polje se može prikazati s pomoću rotora nekog drugog vektorskog polja,
koje se naziva vektorskim potencijalom. Ako je polje ψ � vektorski potencijal polja v � , tada
vrijedi:
� �
∂ψ
k
v = rot ψ ili vi
= εijk ∂x
j
Jasno je da je divergencija polja v � jednaka nuli, jer je div(rotψ � )=0, što je u indeksnom
zapisu očito:
2
� ∂vi ∂ ⎛ ∂ψ ⎞
k ∂ψk
divv = = ⎜εijk ⎟=
εijk = 0
∂xi ∂x ⎜
i x ⎟
⎝ ∂ j ⎠ ∂xj∂xi ���
simetrično
2
∂ ψ k
jer je permutacijski simbol antisimetričan u odnosu na indekse i i j, dok je tenzor
∂xj∂ xi
simetričan u odnosu na te iste indekse, zbog pravila o zamjeni redoslijeda deriviranja, a
prema poznatom pravilu produkt simetričnog i antisimetričnog tenzora jednak je nuli.
Budući da je rotor potencijalnog vektorskog polja jednak nuli, za zadano vektorsko polje
v � vektorski je potencijal ψ � neodređen do na gradΦ (jer je rot(ψ � +gradΦ )=rotψ � ). Stoga
će se svako vektorsko polje moći prikazati zbrojem svoga potencijalnog i solenoidalnog
dijela u obliku
�
� ∂Φ ∂ψ
k
v = gradΦ + rot ψ ili vi
= + εijk
∂x ∂x
i j