v - FSB

More documents

Recommendations

Info

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 40 Primjer: Potrebno je odrediti kriterije sličnosti za slučaj gibanja tijela duljine L koje se trenutno � počelo gibati konstantnom brzinom v∞ u mirujućem fluidu gustoće ρ∞ , konstantne viskoznosti μ∞ u kojem vlada tlak p∞ . Pretpostavlja se nestlačivo, adijabatsko strujanje fluida. g L L′ � g � ρ′∞ ρ∞ p∞ μ∞ x1 x3 O v∞ � a) Prototipna pojava b) Modelska pojava Slika 1. Oznake veličina u prototipnoj i modelskoj pojavi Slika prikazuje opisanu fizikalnu pojavu. Pri definiranju kriterija sličnosti za ovakvo strujanje u prvom koraku se raspisuju polazne jednadžbe, uključujući početne i rubne uvjete. Polazne jednadžbe za nestlačivo adijabatsko strujanje su jednadžba kontinuiteta i jednadžba količine gibanja, a energijska (temperaturna) jednadžba se u ovom slučaju može rješavati neovisno o ove dvije, pa se ovdje neće uzeti u obzir. ∂v ∂x j j x2 = 0 M(x1,x2,x3,t) ∂vi ∂vi ∂p ∂ ⎛ ∂v ⎞ i ρ∞ =−ρ∞vj −ρ∞gδi3− + μ∞ ⎜ ⎟ ∂t ∂xj ∂xi ∂x ⎜ j x ⎟ ⎝∂ j ⎠ v � U početnom trenutku su fluid i tijelo mirovali, a u samom početnom trenutku je brzina tijela postigla konstantnu brzinu. Rubni uvjet na površini tijela kaže da je brzina fluida na toj površini jednaka brzini tijela (uvjet lijepljenja fluida). Gornje jednadžbe označuju sustav četiri skalarne jednadžbe s četiri nepoznata polja (polje tlaka i tri skalarna polja za tri komponente brzine), čije je jednoznačno rješenje definirano početnim i rubnim uvjetima. U tim se jednadžbama pretpostavlja da je gravitacija jedina masena sila (vektor gravitacije je konstantan i djeluje u negativnom smjeru osi x 3 ) i da je ista u obje pojave. U drugom koraku je potrebno za svaku promjenjivu veličinu u strujanju definirati karakterističnu vrijednost temeljem početnih i rubnih uvjeta. Promjenjive veličine u gornjim jednadžbama su: vrijeme t , prostorne koordinate i x , tlak p i brzina v i . Za karakterističnu vrijednost tlaka usvaja se tlak p∞ , za karakterističnu vrijednost brzine se usvaja brzina v∞ gibanja tijela, a za karakterističnu duljinu duljina L tijela. Za karakteristično vrijeme nemamo izbor u rubnim uvjetima, jer smo definirali da se brzina gibanja tijela trenutno promijenila od stanja mirovanja na stanje jednolikog gibanja, pa ćemo karakteristično vrijeme definirati preko duljine L i brzine p′∞ μ′∞ x′1 x′3 ∞ ′ v� O′ x′2 v ′ � M′(x′1,x′2,x′3,t′) (P.1) (P.2)
MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 41 v∞ u obliku τ = L / v∞ . Svaka promjenjiva veličina u gornjim jednadžbama koje opisuju i prototipnu i modelsku pojavu, može se prikazati preko bezdimenzijskih veličina u obliku x t v ~ ~ j = Lx j , x ′ j = L′ x j , odnosno x j Cx′ L j = τ ~ t , t′ = τ ′ ~ t , odnosno t Ct t′ j = v v~ ∞ j , v j v v~ ∞ j ′ = ′ , odnosno v j Cvv ′ j = p ~ ∞ p , p p ~ ∞ p ′ = ′ , odnosno p C p p ′ p = , C = L/ L′ (D.1) L = , C t = τ / τ ′ (D.2) = , Cv = v∞ / v∞′ (D.3) = , C p = p∞ / p∞′ (D.4) Uvrštavanjem izraza (D.1) do (D.4) u jednadžbe (P.1) i (P.2) za prototipnu pojavu, uvažavajući da su karakteristične vrijednosti veličina konstante, slijedi sustav jednadžbi u bezdimenzijskom obliku koji glasi: v ∂v� ∞ L ∂x� j j = 0 2 ρ∞v∞∂v�i ρ∞v ∞ ∂v�i p∞∂p� μ∞v∞∂ ⎛ ∂v� ⎞ i =− v� j + ρ∞gδ i3−+ 2 ⎜ ⎟ τ ∂t�L ∂x�j L ∂x�i L ∂x� ⎜ j x ⎟ ⎝ ∂�j ⎠ (B.1) (B.2) Analogni bezdimenzijski sustav jednadžbi se dobiva i za modelsku pojavu, s jedinom razlikom da su koeficijenti jednadžbi koje opisuju modelsku pojavu sastavljeni od karakterističnih veličina modelske pojave. Ako se u svakoj jednadžbi modelske i prototipne pojave jedan od koeficijenata svede na jedinicu, tada će jednakost jednadžbi podrazumijevati jednakost koeficijenata uz odgovarajuće članove. Dijeljenjem jednadžbe (B.2) koeficijentom uz konvekcijski član (član koji označuje inercijske sile), sustav jednadžbi (B.1) i (B.2) prelazi u oblik ∂v� ∂x� j j = 0 L ∂v�i ∂v�i gL p∞ ∂p� μ∞ ∂ ⎛ ∂v� ⎞ i = −v� j + δ 2 i3− + 2 ⎜ ⎟ v τ t x �∞ ∂�∂�j v ρ v x �∞ �∞ ∞ ∂�i ρ∞v∞L ∂x� ⎜ j ∂x⎟ ⎝ �j �� ⎠ St 2 1/ Fr Eu 1/ Re (C.1) (C.2) Iz uvjeta jednakosti bezdimenzijskih koeficijenata u jednadžbi (C.2), koji opisuje prototipnu pojavu s odgovarajućih koeficijentima analognoj jednadžbi za modelsku pojavu slijede kriteriji sličnosti dvaju strujanja. Jasno je da su ti koeficijenti sastavljeni od sedam karakterističnih veličina, uvedenih u jednadžbama (D.1) do (D.4), a to su: L , τ , v∞ , p∞ te konstanti g , ρ∞ , i μ∞ u jednadžbi (C.2). U dimenzijama ovih sedam veličina se pojavljuju tri osnovne dimenzije: duljine, vremena i mase, te se prema pravilima dimenzijske analize može izabrati skup od tri dimenzijski nezavisne veličine, čijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije svih sedam veličina, odnosno moguće je definirati četiri bezdimenzijska parametara, koji se ovdje nazivaju kriterijima sličnosti. Naravno da je izbor dimenzijski nezavisnog skupa potpuno proizvoljan, a da o izbranom skupu zavise oblici bezdimenzijskih parametara. Ako bi se npr. za skup dimenzijski nezavisnih veličina izabrao skup: ρ∞ , v∞ , L , tada bi se dobio sljedeći skup 2 2 bezdimenzijskih parametara: v∞ τ / L, gL/ v∞ , p∞/( ρ∞v∞ ) ) i μ∞ /( ρ∞v∞ L) . Izborom nekog drugog dimenzijski nezavisnog skupa došlo bi se do drugih bezdimenzijskih parametara. Isto tako, bezdimenzijski koeficijenti u jednadžbi (C.2) su dobiveni dijeljenjem jednadžbi (B.2)
Page 1 and 2: MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
Page 29 and 30: 1 σ jj =− p + μV 3 MEHANIKA FLU
Page 37 and 38: gdje je C ϕ koeficijent sličnosti
Page 39: MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
Page 75 and 76: Prandtlova hipoteza puta miješanja
Page 85 and 86: B MEHANIKA FLUIDA II - Što valja z
Page 87 and 88: 1000 CD MEHANIKA FLUIDA II - Što v
Page 91:
MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
show all

v - FSB

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?