v - FSB

More documents

Recommendations

Info

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 42 koeficijentom uz konvekcijski član, a da su dijeljene nekim drugim koeficijentom dobili bi se neki drugi bezdimenzijski koeficijenti. U nastavku će se tim bezdimenzijskim parametrima pridružiti ime i objasniti značenje. Na lijevoj strani jednadžbe (C.2), uz nestacionarni član, pojavljuje se koeficijent koji se naziva Strouhalovim brojem, te za dvije slične pojave vrijedi: L L′ L lokalna promjena = ili St = St′ , gdje je St = = (K.1) v τ v′ τ ′ v∞τ konvektivna promjena ∞ ∞ Koeficijent uz član koji označuje masene sile u jednadžbi količine gibanja (C.2), prikazuje se Froudeovim brojem, a za dvije slične pojave vrijedi: gL gL′ = v v′ 2 2 ∞ ∞ 1 1 Fr Fr′ ili = 2 2 gdje je v∞ inercijske sile Fr = = (K.2) gL gravitacijska sila Koeficijent uz gradijent tlaka u jednadžbi količine gibanja (C.2), se u nestlačivom strujanju naziva Eulerovim brojem, a za dvije slične pojave vrijedi: p p′ = ρ ρ′ ′ ∞ ∞ 2 2 ∞v∞ ∞v∞ ili Eu Eu′ ∞ = gdje je 2 ρ∞v∞ p sile tlaka Eu = = (K.3) inercijske sile Koeficijent u članu koji označuje viskozne sile u jednadžbi količine gibanja (C.2), definiran je Reynoldsovim brojem Re = ρvL / μ , te vrijedi: μ μ′ ∞ ∞ = ρ vL ρ′ vL ′ ′ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 ili = Re Re′ gdje je ρ∞vL ∞ inercijske sile Re = = (K.4) μ viskozne sile Općenito govoreći dva nestlačiva strujanja fluida će biti slična ako je zadovoljena jednakost Strouhalovih, Froudeovih, Eulerovih i Reynoldsovih brojeva prototipne i modelske pojave. Ako bi početni i rubni uvjeti bili zadani jednadžbama, iz njih bi se mogli pojaviti dodatni kriteriji sličnosti. U općem slučaju bezdimenzijsko polje tlaka i brzine u sustavu jednadžbi (C.1) i (C.2) zavisi od bezdimenzijskih prostornih i vremenske koordinate, te od koeficijenata koji se pojavljuju u jednadžbama, tj. vrijedi: p� = pxtStFrEuRe �( � i, �, , , , ) v� = v�( x� , t�, St, Fr, Eu, Re) i i i U zadanom primjeru nismo iskoristili definiciju za karakterističnu vrijednost vremena τ = L/ v∞. Ako se u definiciju (K.1) za Strouhalov broj uvrsti pretpostavljena relacija τ = L / v∞ , onda je jasno da će i u modelskoj i u prototipnoj pojavi vrijednost Strouhalova broja biti jednaka jedinici, što se može shvatiti da je jednakost Strouhalovih brojeva već zadovoljena, odnosno bezdimenzijska rješenja neće biti funkcija Strouhalova broja. Dakle nezavisni kriteriji sličnosti (oni o kojima rješenje problema ovisi) uvijek su definirani od veličina koje slijede iz konstanti koje se pojavljuju u jednadžbama (u ovom primjeru su to g , ρ∞ i μ∞ ) i konstanti iz početnih i rubnih uvjeta (ovdje su to L , p∞ i v∞ ), pa je jasno da se iz šest veličina, od kojih su tri dimenzionalno nezavisne, mogu definirati tri Π -parametra. Dakle u dvije pojave treba izabrati takve vrijednosti konstanti da bezdimenzijski koeficijenti (ovdje Fr , Eu i Re ) u dvije pojave budu jednaki, čime će se osigurati jednakost bezdimenzijskih rješenja. Za prototipnu pojavu, koju želimo ispitati na modelu, poznajemo vrijednosti svih šest utjecajnih veličina. U ∞
MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 43 modelskoj pojavi možemo izabrati slobodno tri od šest veličina, a preostale tri su definirane kriterijima sličnosti. Jedna od njih nam je već zadana jer se modelska pojava odvija u istom polju gravitacije ( g′ = g ), pa nam za slobodan izbor preostaju još dvije veličine. Ako je povod modelskim ispitivanjima smanjenje veličine objekta, onda biramo duljinu L′, a biramo i fluid u modelskoj pojavi, čime su određene ρ′ ∞ i μ′ ∞ , te smo već zadali četiri veličine, a možemo zadati samo tri. Ako smo zadali četiri veličine, s preostalim dvjema možemo zadovoljiti samo dva od tri kriterija sličnosti, što znači da ne bismo imali potpunu sličnost dvaju pojava. U praksi je to čest slučaj, a u takvim situacijama potrebno je izvršiti dopunsku analizu utjecaja pojedinih parametara na rješenje, tako da se zadovolji jednakost onih koeficijenata koji značajnije utječu na rezultat. Poslije ćemo analizirati utjecaj svakog od kriterija sličnosti, a sada pogledajmo alternativni način izvođenja kriterija sličnosti. Prema definiciji sličnosti veličine u dvije pojave povezane su koeficijentom sličnosti Cϕ u obliku ϕ = Cϕϕ′ , gdje je Cϕ jednako omjeru karakterističnih vrijednosti promatrane fizikalne veličine u dvije pojave Cϕ = Φ / Φ′ . Ako se u jednadžbama za prototipnu pojavu ∂v ∂x j j = 0 ∂vi ∂vi ∂p ∂ ⎛ ∂v ⎞ i ρ∞ =−ρ∞vj −ρ∞gδi3− + μ∞ ⎜ ⎟ ∂t ∂xj ∂xi ∂x ⎜ j x ⎟ ⎝∂ j ⎠ sve veličine izraze pomoću veličina modelske pojave, dobije se C ∂v′ v j = 0 C ∂x′ L j (P.1) (P.2) 2 CC ρ v ∂v′ CC i ρ v ∂v′ C i p ∂p′ CC μ v ∂ ⎛ ∂v′ ⎞ i ρ′ ∞ =− ρ′ v′ ∞ j − CC ρ g ρ′ g′ ∞ δi3−+ μ′ 2 ∞ ⎜ ⎟ Ct ∂t′ CL ∂x′ j CL ∂x′ i CL ∂x′ ⎜ j ∂x′ ⎟ ⎝ j ⎠ U gornjim jednadžbama su plavom bojom označeni članovi koji čine jednadžbe modelske pojave. Svođenjem jednog od koeficijenata u gornjim jednadžbama na jedinicu dobije se ∂v′ j = 0 ∂x′ j CL ∂v′ i ∂v′ CC i L g Cp ∂p′ Cμ ∂ ⎛ ∂v′ ⎞ i ρ′ ∞ = −ρ′ v′ ∞ j − ρ′ g′ 2 ∞ δi3− + μ′ 2 ∞ ⎜ ⎟ CC v t ∂t′ ∂x′ j Cv CC ρ v ∂x′ i CCC ρ v L ∂x′ ⎜ j x′ ⎟ ⎝∂j⎠ Jasno je da će se iz prototipnih jednadžbi dobiti modelske jednadžbe, ako su svi koeficijenti jednaki jedinici, tj. vrijedi sljedeće: L CL = 1 ili L′ L L′ = 1 ili = ili St = St′ , što je jednako izrazu (K.1) CC v τ v t ∞ v∞τv′ ∞τ′ v′ ∞ τ ′ CC L g 1 2 C v = ili L g L′ g′ gL gL′ 1 1 = 1 ili = ili = što je jednako izrazu (K.2) 2 2 2 2 2 v∞ v∞ v′ ∞ Fr Fr′ 2 v′ ∞
Page 1 and 2: MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
Page 29 and 30: 1 σ jj =− p + μV 3 MEHANIKA FLU
Page 37 and 38: gdje je C ϕ koeficijent sličnosti
Page 41: MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap
Page 75 and 76: Prandtlova hipoteza puta miješanja
Page 85 and 86: B MEHANIKA FLUIDA II - Što valja z
Page 87 and 88: 1000 CD MEHANIKA FLUIDA II - Što v
Page 91: MEHANIKA FLUIDA II - Što valja zap

v - FSB

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?