v - FSB

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 8
∂vi
gibanja je nelinearna zbog člana ρv
j . Zbog nelinearnosti jednadžbe količine gibanja
∂x
j
ovaj se sustav može riješiti samo numeričkim putem. Uz pretpostavku potencijalnog
strujanja, u kojem vrijedi
∂ϕ
v j =
∂x
j
jednadžba kontinuiteta prelazi u Laplaceovu jednadžbu
2 2 2
∂v j ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
= ⎜ ⎟=
0 ili Δ ϕ=
+ + = 0
2 2 2
∂xj ∂x ⎜
j x ⎟
⎝ ∂ j ⎠
∂x1 ∂x2 ∂x3
Nelinearni član u jednadžbi količine gibanja prelazi u
2
∂vi ∂ϕ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ρ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ρv⎞
ρvj= ρ ⎜ ⎟= ρ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
∂xj ∂xj ∂xj xi xj x ⎜
i x ⎟
j x ⎜
i 2 xj x ⎟
⎝ ∂ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ∂ j ⎠ ∂xi ⎝ 2 ⎠
pa jednadžba količine gibanja prelazi u oblik
2
∂ ⎡ ∂ϕ
ρv
⎤
⎢ρ + + ρgx3
+ p⎥
= 0
xi⎣ ∂t
2
⎦
Zbroj u uglatoj zagradi očito nije funkcija prostornih koordinata, pa vrijedi izraz (koji je
poznat pod nazivom Euler-Bernoullijeva jednadžba)
2
∂ϕ
ρv
ρ + + ρgx3+
p= f () t
∂t
2
gdje je f () t neka funkcija vremena.
Za slučaj stacionarnog potencijalnog strujanja polazni sustav jednadžbi je
2 2 2 2
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
= + + = 0
2 2 2
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
j j
1 2 3
2
ρv
+ ρgx3
+ p = C = konst.
2
Osnovna prednost ovog sustava jednadžbi koji opisuje neviskozno bezvrtložno strujanje je
u činjenici, da je nelinearna jednadžba količine gibanje prešla u algebarsku jednadžbu, te
se gornji sustav jednadžbi rješava tako da se prvo riješi jednadžba kontinuiteta, čime je
određeno polje brzine, a zatim se iz druge jednadžbe (koja je oblika Bernoullijeve
jednadžbe) odredi polje tlaka. Treba naglasiti da je u gornjoj jednadžbi konstanta C
jedna te ista za cijelo područje strujanja (ne za strujnicu kao kod Bernoullijeve
jednadžbe) pa se jednadžba može postavljati između bilo koje dvije točke u području
strujanja, ne vodeći računa o strujnicama. Laplaceova jednadžba je linearna parcijalna
diferencijalna jednadžba, koja se za slučaj stacionarnoga strujanja rješava uz zadane rubne
uvjete. Tipični rubni uvjet na stjenci optjecanog tijela je uvjet nepromočivosti stjenke, tj.
normalna komponenta brzine na stjenci mora biti jednaka brzini stjenke.
Za primjer prema slici, gdje fluid nastrujava na
n
mirujuće tijelo, vrijedi na površini tijela
∂ϕ∂ϕ vn = vjnj = nj
= = 0
∂xj∂n Dovoljno daleko od tijela, utjecaj tijela se ne
osjeća, pa je potencijal jednak potencijalu
neporemećenog strujanja ϕ = ϕ∞ .
�