v - FSB

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 20
OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA
Zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta)
Zakon očuvanja mase, za materijalni volumen, glasi: Brzina promjene mase
materijalnog volumena jednaka je nuli. Matematički zapis ovog zakona je
D
ρ dV
= 0
Dt
∫
VM
( t)
Diferencijal dV vremenski promjenjivog materijalnog volumena M ()
V t , koji odgovara
volumenu čestice fluida, je također vremenski promjenjiv, pri čemu vrijedi (vidjeti npr.
sažetak drugih predavanja)
1 Dd ( V ) ∂v
j
=
dV Dt
∂xj
pa je
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
D ⎜Dρ Dd ( V ) ⎟ ⎜ Dρ
∂v
j ⎟
dV dV dV 0
Dt ∫ ρ = ∫ ⎜ + ρ ⎟= Dt Dt ∫ ⎜ + ρ
M() M() M()
�Dt
x
⎟ =
V t V t ⎜ ����� ⎟ ∂
V t
j
⎜ ⎟
∂v
∂ρ ∂ρ
⎜ j
⎜ dV
⎟ ⎜ + v j ⎟
∂x
∂t ∂x
j ⎝ j
⎝ ⎠
⎠
U graničnom prijelazu kada se materijalni volumen smanji na česticu fluida (materijalnu
⎛Dρ∂v⎞ j
točku), gornji izraz prelazi u oblik ⎜ + ρ ⎟dVM=
0,
iz čega je jasno da vrijedi
⎜ Dt
∂x
⎟
⎝ j ⎠
Dρ
∂vj ∂ρ ∂ρ
∂vj
+ ρ = + v j + ρ = 0 .
Dt
∂xj ∂t ∂xj ∂xj
Gornji izraz se može zapisati i u obliku
∂ρ
∂(
ρ v j )
+ = 0
∂t
∂x
j
koji se naziva konzervativnim oblikom zakona očuvanja mase (jednadžbe kontinuiteta). Za
nestlačivo strujanje (stacionarno ili nestacionarno) jednadžba kontinuiteta glasi:
∂v
j
= 0
∂x
j
a izražava činjenicu da nema promjene volumena čestice fluida.
Dva pomoćna pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida
Bilo koje fizikalno svojstvo fluida (masa, količina gibanja, energija, …) moguće je izraziti
volumenskom gustoćom Φ ili masenom gustoćom ϕ (fizikalna veličina izražena po
jedinici mase je specifična vrijednost fizikalne veličine). Tako je npr. volumenska gustoća
mase m jednaka Φ=d m/ dV
= ρ , specifična masa ϕ =d m/ dm= 1.
Za kinetičku energiju
v
Veza između volumenske gustoće i specifične fizikalne veličine je
Φ =
ρϕ
2 2
2
mv /2 je volumenska gustoća Φ= ρ /2,
a specifična kinetička energija je ϕ = /2.
v