Równania różniczkowe zwyczajne

Rozdział 6
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
ZWYCZAJNE
W rozdziale niniejszym rozważane będzie zagadnienie numerycznego wyznaczania
rozwiazania ˛ układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu przy podanej
wartości rozwiazania ˛ w punkcie poczatkowym. ˛ Jest to więc tzw. zagadnienie
poczatkowe ˛ dla równań różniczkowych zwyczajnych (zadanie Cauchy’ego). Metody
numeryczne rozwiazywania ˛ tego zagadnienia stanowiapodstawę ˛ algorytmiczna˛
pakietów
symulacji ciagłych ˛ układów dynamicznych. Ponadto, sa˛
one podstawowe dla
szeregu algorytmów wyznaczania rozwiazań ˛ również szerszych klas układów równań
rózniczkowych, jak np. zagadnienia dwugraniczne, zob. np. [7].
Zmienna niezależna˛
oznaczać będziemy przez x ∈ R 1 (np. reprezentuje ona
czas). Zmienne zależne (rozwiazania ˛ układu równań) oznaczaćbędziemy przez y i (x) ,
i =1, ..., m. Szukaćbędziemy rozwiazania ˛ układu równań postaci:
dy i
dx = f i (x, y 1 , ..., y m ) , i =1, ..., m, (6.1)
na odcinku x ∈ [a, b], przywarunkachpocz˛ atkowych: y i (a) =y ia , i =1, ..., m. W
zapisie skróconym, wektorowym:
Twierdzenie (o jednoznaczności rozwiazania)
˛
Jeśli spełnione sawarunki:
˛
1. funkcje f i ,i=1, ..., m, saci˛
˛ agłe nazbiorze
y 0 (x) = f (x, y) ,
y (a) = y a , x ∈ [a, b]. (6.2)
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y ∈R m }
2. oraz spełniaja˛
warunek Lipschitza wzgledem ˛ y, tzn.
∃ L>0 ∀x ∈ [a, b] , ∀y,y k f i (x, y) − f i (x, y) k≤ L k y−y k, (6.3)
1

2 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
to dla każdych warunków poczatkowych ˛ y a
ciagła, ˛ różniczkowalna i spełniajaca
˛
istnieje dokładnie jedna funkcja y (x),
y 0 (x) =f (x, y) , y (a) =y a , x ∈ [a, b] .
Można ponadto pokazać, że zagadnienie spełniajace ˛ założenia tego twierdzenia jest
dobrze postawione, tzn. jego rozwiazanie ˛ zależy w sposób ciagły ˛ odzmian(odchyleń)
warunków poczatkowych ˛ i zaburzeń funkcjif.
Najpopularniejsze metody numerycznego rozwiazywania ˛ równań różniczkowych
można podzielić na trzy grupy:
- metody jednokrokowe,
- metody wielokrokowe,
- metody ekstrapolacyjne.
W niniejszym opracowaniu zajmiemy się metodami z dwóch pierwszych grup.
Metody numeryczne znajdowania rozwiazań ˛ układu równań różniczkowych to
metody różnicowe, tj. przybliżona wartość rozwi˛ azania obliczana jest w kolejnych,
dyskretnych punktach x n ,
a = x 0 ≤ x 1 ≤ ...≤ x n = b,
gdzie h i = x i+1 − x i - kolejne kroki metody.
Definicja (zbieżnościmetodyróżnicowej)
Mówimy, że metoda jest zbieżna, jeśli dla każdego układu równań maj˛ acego jednoznaczne
rozwiazanie ˛ y (x), przykrokachh daż ˛ acychdozerazachodzi:
˛
lim y (x n; h) → y (x)
h→0
gdzie y (x n ; h) oznacza rozwiazanie ˛ przybliżone uzyskane tametod˛
˛ a.
Przykład. Metoda Eulera:
y n+1 = y n + hf (x n ,y n ) , n =0, 1, ... y 0 = y a . (6.4)
Wykażemy teraz zbieżność tej metody (zakładajac, ˛ że y∈ C 2 na odcinku [a, b]). Mamy
y (x n + h) =y (x n )+y 0 (x n ) h + y 00 (ξ n ) h2
2 , ξ n ∈ [x n ,x n + h] . (6.5)
Bład ˛ metody po n krokach:
df
e n = y (xn ) − y n
Odejmujac ˛ stronami (6.4) i (6.5) oraz korzystajac ˛ z założenia, że funkcja f spełnia
warunek Lipschitza otrzymujemy:
e n+1 = e n + h [f (x n ,y(x n )) − f (x n ,y n )] + T n ,
|e n+1 | ≤ |e n | + hL |e n | + |T n |,

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 3
Rysunek 6.1: Graficzna interpretacja metody Eulera
gdzie L stała Lipschitza,zaś
T n = y 00 (ξ n ) h2
2 .
Niech
M z = 1 2 max
x∈[a,b] |y00 (x)| ,
wówczas szacujac ˛ bład ˛ uzyskujemy
|e n+1 | ≤ (1 + Lh) |e n | + h 2 M z
≤ (1 + hL) 2 |e n−1 | + h 2 M z ((1 + Lh)+1)
nX
≤ ··· ≤ h 2 M z (1 + Lh) j
j=0
= h 2 1 − (1 + Lh) n+1
M z
1 − (1 + Lh)
(1 + Lh) n+1 − 1
= hM z ,
L
skad ˛ przy założeniu L 6= 0otrzymujemy, podstawiajac ˛ n+1 = x n+1−a
h
tożsamość 1+Lh < e Lh ,
iwykorzystuj˛ ac
(1 + Lh) x n+1 −a
h
− 1
|e n | ≤ hM z
L
e L(b−a) − 1
≤ hM z = ξ
L
0 h,
co dowodzi zbieżności metody Eulera, gdyż |e n | −→ 0 dla h −→ 0.

4 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Metoda Eulera jest najprostsza, ˛ ale i najmniej dokładna. ˛ Stad ˛ nie ma ona większego
znaczenia praktycznego. Natomiast tzw. zmodyfikowane metody Eulera podane
poniżej maja już znaczenie praktyczne, jako stosunkowo najprostsze metody nie
generujace ˛ w typowych sytuacjach zbyt dużych błędów.
Zmodyfikowana metoda Eulera ( metoda punktu środkowego):
y n+1 = y n + hf(x n + 1 2 h, y n + 1 2 hf (x n,y n )) (6.6)
Metoda Heuna (też modyfikacja metody Eulera):
y n+1 = y n + 1 2 h [f (x n,y n )+f (x n + h, y n + hf (x n ,y n ))] (6.7)
Czytelnikowi pozostawiamy zastanowienie się nad interpretacjagraficzn ˛ atychmetod
˛
i porównanie ich z metodaEulera.
˛
6.1 METODY JEDNOKROKOWE
Ogólny wzór określajacypojedynczykroktzw.metod ˛
jednokrokowych:
y n+1 = y n + h Φ f (x n ,y n ; h) ,
y 0 = y a , gdzie x n = x 0 + nh, n =0, 1, ... (6.8)
zaś Φ f (x n ,y n ; h) to funkcja definiujaca ˛ metodę. Możemy napisać
Φ f (x n ,y n ; h) = y n+1 − y n
, (h 6= 0).
h
Zdefiniujmy
∆ f (x n ,y n ; h) = y (x n + h) − y (x n )
h
Metoda jest zbieżna, gdy
h → 0 ⇒ y (x n ; h) → y (x) ,
tzn. gdy h → 0 ⇒ Φ f (x n ,y n ; h) → ∆ f (x n ,y n ; h) .
Zkoleimamy
∆ f (x n ,y n ; h) → h→0 y 0 (x n )=f (x n ,y n ) .
St ˛ ad warunkiem aproksymacji (też: wrunkiem zgodności metody z równaniem) nazywamy
warunek
Φ f (x, y;0)=f (x, y)

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 5
Jeśli spełnione sazałożenia ˛ twierdzenia o jednoznaczności rozwiazań ˛ orazΦ f (x, ·; h)
spełnia warunek Lipschitza, to warunek powyższy jest koniecznym i dostatecznym
zbieżności metody jednokrokowej.
Bład ˛ aproksymacji (lokalny) - bład ˛ powstały wjednymkroku(tj.przyzałożeniu,
że y (x n )=y n ), wyraża się wzorem:
r n (h) df = y (x n + h) − [y (x n )+hΦ f (x n ,y n ; h)] , (6.9)
gdzie y (x n + h) jest rozwiazaniem, ˛ dla x = x n + h, ukł adu
y 0 (x) = f (x, y (x)) ,
y (x n ) = y n , x ∈ [x n ,b] .
Zakładajac ˛ odpowiedniagładkość ˛ funkcji r n (h) irozwijaj˛ ac ja˛
w szereg Taylora otrzymujemy:
r n (h) =r n (0) + rn 0 (0) h + 1 2 r(2) n (0) h 2 + ...
Mówimy, że metoda jest rzedu ˛ p, jeśli zachodzarówności:
˛
r n (0) = 0, r 0 n
(0) = 0, . . ., r(p) n
(0) = 0, r(p+1) n (0) 6= 0. (6.10)
Wtedy
r n (h) = r(p+1) n (0)
(p +1)! hp+1 + O ¡ h p+2¢ , (6.11)
gdzie pierwszy składnik to tzw. cześć ˛ główna bł edu ˛ aproksymacji, zaśdrugijest
funkcjarzędu ˛ nie niższego niż h p+2 (tzn. iloraz O(hp+2 )
jest ograniczony w otoczeniu
h p+2
zera).
Przykład.
Dla metody Eulera
r n (h) =y (x n + h) − y n − hf (x n ,y n ) .
Rozwijajac ˛ y (x n + h) w szereg Taylora otrzymujemy:
y (x n + h) =y (x n )+y 0 (x n ) h + 1 2 y00 (x n ) h 2 + ...
Zzałożenia y n = y (x n ) , y 0 (x n )=f (x n ,y n ) , stad
˛
y (x n + h) = y n + hf (x n ,y n )
| {z } +y00 (x n ) h 2 + ...
y n+1
Stad ˛ bezpośrednio
r n (h) =yn 00 (x n) h 2 + O ¡ h 3¢ ,
zatem metoda Eulera jest rzędu pierwszego.

6 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
6.1.1 Metody Rungego - Kutty (RK)
Metody te można zdefiniować następujacym ˛ wzorem:
przy czym i−1 P
y n+1 = y n + h ·
j=1
mX
w i k i ,
i=1
gdzie
k 1 = f (x n ,y n ) ,
Ã
!
Xi−1
k i = f x n + c i h, y n + h · a ij k j , i =2, 3, ..., m
a ij = c i , i =2, 3, ..., m.
Dla wykonania jednego kroku metody należy obliczyćwartości prawych stron równań
różniczkowych dokładnie m razy (dlatego będziemy mówić o m-etapowej iteracji
metody, czy krócej o metodzie m-etapowej) Parametry w i , a ij , c i dobiera się tak,
aby przy ustalonym m rzad ˛ metody był możliwie wysoki. Jesli przez p(m) oznaczymy
maksymalny możliwy do uzyskania rzad ˛ metody, to udowodniono, że
j=1
p (m) =m dla m =1, 2, 3, 4
p (m) =m − 1 dla m =5, 6, 7
p (m) ≤ m − 2 dla m ≥ 8
Największe znaczenie praktyczne majametodyzm ˛
=4irzędu 4 - udany kompromis
między dokładnościametody(rz˛
˛
ad metody) a nakładem obliczeń najedn˛ aiteracjęi
zwiazanym ˛ z tym wpł ywem błędów zaokragleń.
˛
Metoda RK 4-tego rzędu (RK4, ”klasyczna”):
y n+1 = y n + 1 6 h (k 1 +2k 2 +2k 3 + k 4 )
k 1 = f (x n ,y n )
k 2 = f(x n + 1 2 h, y n + 1 2 hk 1)
k 3 = f(x n + 1 2 h, y n + 1 2 hk 2)
k 4 = f (x n + h, y n + hk 3 )
Interpretacja graficzna wyznaczania kolejnego punktu wg powyższych wzorów przedstawiona
jest na rysunku ??.
Wybór długości kroku
Podstawowym zagadnieniem przy praktycznej implementacji metod rozwi ˛ azywania
równań różniczkowych zwyczajnych jest kwestia doboru długości kroku całkowania h.
Przy wyznaczaniu długości kroku występuja dwie przeciwstawne tendencje:

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 7
Rysunek 6.2: Graficzna interpretacja metody RK4
• jeśli krok h maleje, to maleje bład ˛ metody (bład ˛ aproksymacji), dla metody
zbieżnej maleje do zera przy h daż ˛ acym ˛ do zera,
• jeśli krok h maleje, to rośnie ilość iteracji (ilość kroków) dla wyznaczenia rozwiaza-
nia na zadanym odcinku [a, b], ast˛ ad ilość obliczeń izwi˛ azanych z nimi bł ędów
˛
zaokragleń.
˛
Stad, ˛ nadmierne zmniejszanie długości kroku nie jest wskazane - krok powinien
być wystarczaj˛ acy dla uzyskania założonej dokł adności, ale nie znacznie mniejszy.
Wmyśl powyższych uwag, stały krokcałkowania będzie odpowiedni jedynie dla
rozwiazań ˛ o podobnej szybkości zmienności w całym zakresie [a, b]. Aiwtymprzypadku
zgadnięcie optymalnej jego długościniejestapriorimożliwe - powinien byćdobierany
automatycznie przez metodę. Oczywiście, rozwiazania ˛ bardzo wielu układów
równań różniczkowych saoróżnej ˛ szybkości zmienności, nierzadko różniacej ˛ sie o
rzędy wielkości. Dla takich sytuacji wskazane jest zmienianie długości kroku w trakcie
działania metody - automatyczny dobór długości kroku powinien być wbudowany
w algorytm metody.
Najistotniejsza informacja˛
konieczna˛
dla automatycznego wyznaczania odpowiedniej
długości kroku jest oszacowanie wartości błędu metody w danym jej kroku.

8 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Szacowanie wartości błędu według zasady zdwajania kroku
Dla jednego kroku o długości h wykonujemy dodatkowo, równolegle (tzn. startujac
˛ też z punktu x n )dwadodatkowekrokiodługości h , w celu oszacowania błędu.
2
Wprowadźmy oznaczenia:
• y (1)
n - nowy punkt uzyskany w kroku o długości h,
• y (2)
n - nowy punkt wyznaczony przez dwa kroki o długościach h 2 .
Zakładajac ˛ identyczny bład ˛ aproksymacji w każdym z dwóch kroków pomocniczych
(świadome przybliżenie) mamy
p+1
y (x n + h) '
µ h
y n (2) +O ¡ h p+2¢
2
| {z }
po kroku podwójnym
część główna błędu
y (x n + h) = y (1)
n + γ · h p+1
| {z } +O ¡ h p+2¢ po kroku pojedynczym
część główna błędu
Rugujac ˛ nieznany współczynnik γ = r(p+1)
n (0)
(p+1)!
otrzymamy:
Stad ˛ bezpośrednio
y (x n + h) = y (2)
n
y (x n + h)(1− 1 2 p ) = y(2) n
= y (2)
n
y (x n + h) − y n
(1)
+ O ¡ h p+2¢
2 p h p+1
+ hp+1
− y(1) n
2 + O ¡ h p+2¢
p
(1 − 1
2 p )+y(2)
n
2 − y(1) n
p 2 + O ¡ h p+2¢
p
lub równoważnie
y (x n + h) =y (1)
n
y (x n + h) =y (2)
n
+2 p y(2) n − y n
(1)
2 p − 1
+ y(2) n − y n
(1)
2 p − 1
+ O ¡ h p+2¢ , (6.12)
+ O ¡ h p+2¢ . (6.13)
Z (6.12) wynika oszacowanie błędu δ n (h) ≈ y n (2) − y n
(1) pojedynczego kroku o długości
h (za oszacowanie błędu przyjmuje się oszacowanie jego części głównej). Natomiast,
występujacy ˛ w (6.13) składnik części głównej błędu
µ
δ n 2 × h
= y(2) n − y n
(1)
2 2 p − 1
Ã
y n (2) − y n
(1)
= p=4
15
!
(6.14)

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 9
można potraktować jako oszacowanie błędu dwóch kolejnych kroków o długości h/2,
i oszacowanie to jest 2 p razy mniejsze niż δ n (h). Stad, ˛ przyjmowanie y n+1 = y n
(1) z
oszacowaniem błędu δ n (h) ≈ y n (2) − y n
(1) , jakkolwiek poprawne, prowadzi do niewykorzystania
dokł adniejszego wyniku uzyskanego w dwóch mniejszych krokach. Praktyczniejsze
jest przyjmowanie y n+1 = y n
(2)
¡
z oszacowaniem błędu δ n 2 ×
h
2¢
(6.14) - i,
być może, z nieco ostrożniejszym współ czynnikiem bezpieczeństwa, zob. punkt 6.1.3.
6.1.2 Metody Rungego-Kutty-Fehlberga (RKF)
Załóżmy, że rozważamy dwie metody RK, m-etapowarzędu ˛ p i m+1-etapowarzędu
˛
p+1.
-MetodaRKrzędu p:
y n+1 = y n + h · mP wi ∗ k i
i=1
k 1 = f (x n ,y n )
k i = f(x n + c i h, y n + h · i−1 P
a ij k j ),
-MetodaRKrzędu p+1:
j=1
i =2, 3, ..., m
(6.15)
y n+1 = y n + h · m+1 P
i=1
w i k i
k 1 = f (x n ,y n )
k i = f(x n + c i h, y n + h · i−1 P
a ij k j ), i =2, 3, ..., m +1
j=1
(6.16)
Wobumetodachwspółczynniki wi
∗ i w i saróżne, ˛ ale współczynniki c i i a ij sa˛
równe dla j =1, ..., i − 1, i=2, ..., m ,tznwspółczynniki k i sarównedlai ˛
=1, ..., m.
Jeśli wykonamy obliczenia obydwiema metodami, to
-dlarzędu p:
-dlarzędu p+1:
y (x n + h) = y n + h ·
mX
wi ∗ k i (h)+h p+1 γ (0) + O ¡ h p+2¢
i=1
| {z } | {z }
y (0)
n+1 część główna błędu
m+1
X
y (x n + h) = y n + h · w i k i (h)+h p+2 γ (1) + O ¡ h p+3¢
i=1
| {z } | {z }
y (1)
n+1 O ¡ h p+2¢

10 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Odejmujac ˛ stronami i pomijajac ˛ ”ogon” składajacy ˛ sie z wyrażeń O (h p+2 ) otrzymujemy
oszacowanie błędu (błędu metody rzędu p, niższego):
δ n (h) = h p+1 γ (0)
mX
= h · (w i − wi ∗ ) · k i (h)+hw m+1 k m+1 (h) (6.17)
i=1
Omówiona para metod RK to tzw. para metod włożonych Fehlberga, zwanych
metodami RKF (Rungego-Kutty-Fehlberga). Zwięzły zapiswspółczynników metody
m-etapowej:
0
c 2
c 3
.
c m
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
a 21
a 31 a 32
. .
a m1 a m2 ··· a
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
m,m−1
Dla pary metod włożonych, m i m+1 etapowej, mamy jednatabelkę:
˛
0
w1
c 2 a 21
. .
c m a m1 a m,m−1
c
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
m+1 a m+1,1 ··· a m+1,m−1 a
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
∗ w 1
w2
∗ w 2
.
.
wm
∗ w m
¯
m+1,m
w ∗ 1
w ∗ 2
w ∗ 3
.
w ∗ m
w m+1
Parametry par metod włożonych1i2rzędu,RKF12,2i3rzędu RKF23 oraz 4 i 5
rzędu, RKF45, podano w tabelach 1, 2 i 3.
Tabela 1. Parametryparymetodwłożonych 1 i 2 rzędu (RKF12):
c i a ij w ∗ i w i
0
1
256
1
512
1
2
1
2
255
256
255
256
1
1
256
Tabela 2. Parametryparymetodwłożonych 2 i 3 rzędu (RKF23)
255
256
1
512
c i a ij w ∗ i w i
0
214
891
533
2106
1
4
1
4
1
0
33
27
− 189
40 800
729
800
650
891
800
1053
1
214
891
1
33
650
891
− 1
78

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 11
Tabela 3. Parametryparymetodwłożonych 4 i 5 rzędu (RKF45)
c i a ij w ∗ i w i
0
25
216
16
135
1
4
1
0 0
4
3
8
3
32
9
32
1408
2565
6656
12825
12
13
1932
− 7200
2197 2197
7296
2197
2197
4104
28561
56430
1
439
216
−8
3680
513
− 845
4104
− 1 5
− 9 50
1
− 8 2 − 3544
2 27 2565
1859
− 11
4104 40
2
55
Wykonanie jednego kroku obliczeń zapomoc˛ a metody RKF45 wymaga, ł acznie ˛ z
szacowaniem błędu, sześciu obliczeń funkcji prawej strony układu równań. Dla porównania:
wykonanie jednego kroku obliczeńzapomoc˛ a metody RK4 wraz z szacowaniem
błędu według zasady Rungego, realizowanej zgodnie z wzorem (6.13), wymaga 11-tu
(4+3+4) obliczeń wartości funkcji prawej strony - ale jest to w istocie metoda liczaca
˛
z krokiem h/2. Tak więc w przypadku kroków udanych, spełniajacych ˛ test dokładności
(sα ≥ 1)nakład obliczeńnaiterację jest porównywalny, natomiast w przypadku
kroków nieudanych metody RKF sa˛
znacznie efektywniejsze niż RK..
6.1.3 Wyznaczanie zmienionej długości kroku
Mamy ogólny wzór na część głównabłędu ˛ dla kroku h:
δ n (h) =h p+1 · γ, (6.18)
gdzie γ jest odpowiednim współczynnikiem w rozwinięciu bł ędu aproksymacji w
szereg Taylora. Gdy zmieniamy krok na αh, to
δ n (αh) =(αh) p+1 · γ,
stad
˛
Zakładajac ˛ dokładność ε:
δ n (αh) =α p+1 · δ n (h) . (6.19)

12 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
uzyskujemy
|δ n (αh)| = ε,
α p+1 |δ n (h) | = ε,
skad ˛ dostajemy współczynnik modyfikacji kroku α,
ε
α =(
|δ n (h)| ) 1
p+1 . (6.20)
Wzór ten jest oczywiście sluszny dla dowolnej metody z oszacowaniem błędu δ n (h).
Jest on też słuszny dla metody RK4 z szacowaniem błędu wg zasady Rungego zależnościa
˛ (6.14), tzn. gdy δ n (h) =δ n 2 ×
¡
h
2¢
. Albowiem
µ
δ n 2 × h
≈ 2γ( h 2 2 )p+1 ,
µ
δ n 2 × αh
≈ 2γ( αh
2 2 )p+1 = α p+1 · 2γ( h 2 )p+1 = α p+1 · δ n
µ2 × h
,
2
tj. zależność analogiczna jak (6.19).
Wpraktyce,dlauwzględnienia niedokładności oszacowania błędu, stosuje się jeszcze
współczynnik bezpieczeństwa, s, st˛ ad
h n+1 = s · α · h n , gdzie s

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 13
Punkt startowy: x 0 = a, (x ε [a, b])
Parametry dokładności: ε w , ε b
Krok początkowy: h 0
Licznik iteracji: n = 0
wzrosth := .TRUE.
Startując z punktu x n z krokiem h n wyznacz
(metodą RK czy RKF) :
- rozwiązanie y n+1 ,
- oszacowanie błędu δ n (h n ).
Wylicz współczynnik korekty długości kroku α,
a następnie proponowaną korektę długości kroku:
h * n+1 = sαh n , (s = 0.9)
T
sα < 1
N
wzrosth := .FALSE.
N
x n +h n =b
T
N
h n := h * n+1
h * n+1

14 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
6.2 METODY WIELOKROKOWE
Ogólna postać wzorudefiniujacego ˛ krok (iterację) metody k-krokowej liniowej:
kX
kX
y n = α j y n−j + h β j · f (x n−j ,y n−j ) ,
j=1
y 0 = y a .
Metoda wielokrokowa jest jawna (ang. explicit method), jeśli β 0 = 0. Dla
metody jawnej wartość y n zależy jawnie (explicite) od wartości y i f(x, y) jedynie w
poprzednich (już obliczonych) punktach, tj od wartości y n−1 ,y n−2 ,...,y n−k ,f n−1 =
f (x n−1 ,y n−1 ) ,f n−2 = f (x n−2 ,y n−2 ) , ..., f n−k = f (x n−k ,y n−k ) .
Metoda wielokrokowa jest niejawna ( ang. implicit method), jeśli β 0 6=0. Dla
metody niejawnej nowa wartość y n obliczana jest na podstawie k poprzednich wartości
y n−1 , ..., y n−k i f n−1 , ..., f n−k gdzie f j = f (x j ,y j ),orazrównieżwartości w punkcie
bieżacym ˛ f n = f(x n ,y n ), tj. dla wyznaczenia y n trzeba w istocie rozwiazać ˛ równanie
(nieliniowe jeśli f nieliniowa) ϕ (y n )=0,gdzie
ϕ (y n ) df = −y n +
kX
α j y n−j + h ·
j=1
j=0
kX
β j f (x n−j ,y n−j )+hβ 0 f (x n ,y n ) .
j=1
Dla β 0 6=0równanie to może mieć niejednoznaczne rozwiazanie, ˛ jest ono jednoznaczne
jeśli
h

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 15
Metody Adamsa dostajemy rozważajac ˛ to równanie na przedziale [x n−1 ,x n ]:
y (x n )=y (x n−1 )+
Z x n
f (t, y (t)) dt.
x n−1
Metody jawne (Adamsa - Bashfortha)
Funkcję podcałkowaprzybliżamy ˛
wielomianem interpolacyjnym W (x) stopniaconajwyżej
k − 1 opartym na węzłach x n−1 , ..., x n−k ,przyjmuj˛ ac y (x n−j ) ∼ = y n−j .Stosuj˛ ac
wzór interpolacyjny Lagrange’a mamy
f (x, y (x)) ∼ kX
= W (x) = f (x n−j ,y n−j ) · L j (x) ,
j=1
kX
y n = y n−1 + f (x n−j ,y n−j ) ·
j=1
gdzie L j (x) to wielomiany Lagrange’a,
Z x n
x n−1
L j (t) dt
L j (x) =
kY
m=1,m6=j
x − x n−m
x n−j − x n−m
.
Stad ˛ po scałkowaniu, przy założeniu x n−j = x n − jh, j =1, 2, ..., k, otrzymujemy:
y n = y n−1 + h
kX
β j f (x n−j ,y n−j ) ,
gdzie wartości współczynników β dla kilku wartości k podano w tabeli 4.
Tabela 4. Parametry metod Adamsa-Bashfortha (jawnych)
j=1
k β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 β 6 β 7
1 1 - metoda Eulera
2
3
2
− 1 2
23
3 − 16
12 12
55
4 − 59
24 24
1901
5 − 2774
720 720
4277
6 − 7923
1440 1440
5
12
37
24
− 9
24
2616
− 1274
720 720
9982
− 7298
1440 1440
251
720
2877
1440
− 475
1440
7
198721
− 447288
60480 60480
705549
− 688256
60480 60480
407139
− 134472
60480 60480
19087
60480

16 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Tabela 5. Parametry metod Adamsa-Moultona (niejawnych)
k β ∗ 0 β ∗ 1 β ∗ 2 β ∗ 3 β ∗ 4
1 ∗ 1
1
1
2
1
2
-wsteczna
met.Eulera
2
5
12
8
12
− 1
12
3
9
24
19
24
− 5
24
1
24
4
251
720
646
- 264
720 720
106
720
− 19
720
5
475
1440
1427
1440
− 798
1440
482
1440
− 173
1440
27
1440
6
19087
60480
65112
− 46461
60480 60480
37504
− 20211
60480 60480
6312
60480
− 863
60480
7
36799
120960
139849
− 121797
120960 120960
123133
120960
− 88547
120960
41499
120960
− 11351
120960
1375
120960
Metody niejawne (Adamsa - Moultona)
Funkcję podcałkowaprzybliżamy ˛
wielomianem interpolacyjnym W ∗ (x) stopnia co
najwyżej k opartym na węzł ach x n ,x n−1 , ..., x n−k .Następnie postępujac ˛ analogicznie
jak w przypadku poprzednim metod Adamsa-Bashfortha otrzymamy:
kX
y n = y n−1 + h β ∗ j · f (x n−j,y n−j )=
j=0
= y n−1 + h · β ∗ 0 · f (x n,y n )+h
kX
β ∗ j · f (x n−j,y n−j )
Wartości parametrów β ∗ j dla kilku wartościkpodanowtabeli5.
j=1
6.2.2 Bład ˛ aproksymacji
Błedem ˛ aproksymacji odpowiadajacym ˛ punktowi x n nazywamy różnicę:
r n (h) df =[
kX
α j y (x n−j )+h
j=1
kX
β j f (x n−j ,y(x n−j ))] − y (x n ) , (6.25)
j=0

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 17
tzn. bład ˛ aproksymacji r n (h) informuje o tym, jaki bład ˛ wnosi metoda w kroku x n ,a
więc przy założeniu y n−j = y(x n−j ),j=1,...,k. Łacz ˛ ac ˛ równanie metody i równanie
błędu dostajemy:
y n − y(x n )=hβ 0 [f(x n ,y n ) − f(x n ,y(x n ))] + r n (h) .
Stosujac ˛ twierdzenie o wartości średniej dostajemy dalej
r n (h) =(1− hβ 0
∂f
∂y (x n,ζ n ))(y n − y(x n )), (6.26)
gdzie ζ n (y n, y(x n )). Tak więc dla metody jawnej bład ˛ aproksymacji jest równy różnicy
y n − y(x n ),adlametodyniejawnej jest proporcjonalny do tej różnicy, przy czym
współczynnik proporcjonalności jest tym bliższy 1 im mniejsza wartośc kroku h.
Przyjmujac ˛ x n−j = x n − jh (stały krok), j =0, 1,...,k mamy
r n (h) =
kX
α j y (x n − jh)+h
j=0
gdzie α 0 = −1.
kX
β j y 0 (x n − jh) ,
Rozwijajac ˛ y (x n − jh) i y 0 (x n − jh) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x n (jeśli
tylko y (x) jest p+1 razy różniczkowalna, p ≥ 1), dostajemy
gdzie
c 0 =
p+1
X
r n (h) =c 0 y (x n )+ h m c m y (m) (x n )+O ¡ h p+2¢ , (6.27)
kX
α j = −1+
j=0
c 1 = −
c m = 1 m!
kX
jα j +
j=1
j=1
kX
j=0
kX
j=1
β j
m=1
α j
kX
(−j) m 1
α j +
(m − 1)!
j=0
kX
(−j) (m−1) β j , m ≥ 2. (6.28)
Metoda wielokrokowa jest rzedu ˛ p jeśli c 0 , ..., c p =0, c p+1 6=0.Dlametodyrzędu
p bład ˛ aproksymacji wyraża się wzorem
j=1
r n (h) =c p+1 h p+1 y (p+1) (x n )+O(h p+2 ), (6.29)
gdzie wartość c p+1 to stałabł ˛ edu,zaś ˛ c p+1 h p+1 y (p+1) (x n ) to cześćgłówna ˛ błędu sproksymacji.
Wartości stałych błędu metod Adamsa-Bashfortha podano w tabeli 6, a
Adamsa-Moultona w tabeli 7.

18 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Tabela 6. Rzędy i stałe błędumetodjawnychAdamsa
k 1 2 3 4 5 6 7
p 1 2 3 4 5 6 7
c p+1 − 1 2
− 5
12
− 3 8
− 251
720
− 95
288
− 19087
60480
− 36799
120960
Tabela 7. Rzędy i stałe błędu metod niejawnych Adamsa
k 1 ∗ 1 2 3 4 5 6 7
p 2 3 4 5 6 7 8
c ∗ p+1
1
2
1
12
1
24
19
720
3
360
863
60480
275
24192
339533
3628800
6.2.3 Stabilność izbieżność
Metoda wielokrokowa jest stabilna, jeśli stabilne jest jej równanie różnicowe dla h =0,
kX
−y n + α j y n−j =0. (6.30)
j=1
Wielomian charakterystyczny tego równania to:
ρ (z) =−z k + α 1 z k−1 + ... + α k−1 z + α k . (6.31)
Twierdzenie.
Metoda k-krokowa jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jest stabilna i jest co najmniej
rzedu ˛ pierwszego (tzn, zachodzi c 0 = c 1 =0- tzw. warunek aproksymacji,
zgodności).
Dla metody zbieżnej jedynka jest zawsze pierwiastkiem wielomianu ρ (z), ponieważ:
ρ (1) = −1+
nX
α i = c 0 =0
i=1
Zdefiniujmy ponadto wielomian zwiazany ˛ ze współczynnikami β j metody,
σ (z) =β 0 z k + ... + β k−1 z + β k . (6.32)

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 19
Wykazano, zob. [6], że dla danego wielomianu ρ (z) metody k-krokowej można skonstruować
takiwielomianσ (z) stopnia m ( m ≤ k), że metoda jest rzedu p>m. Praktycznie
użyteczny maksymalny rzad ˛ stabilnej metody k-krokowej niejawnej wynosi
k+1. Dla k parzystych możliwy jest maksymalny rzadrównyk+2,alewtedyitylko
˛
wtedy gdy wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego leżanakolejed-
nostkowym, co prowadzi do złych cech tzw. absolutnej stabilności metody (definicja
˛
dalej), rodzaju stabilności najważniejszej z praktycznego punktu widzenia .
Stad
˛
Przykład.
Rozważmy ogólnie metodę jawn˛ adwukrokow˛ a, zakładajac ˛ jej rzad ˛ p =2.Mamy
y n = α 1 y n−1 + α 2 y n−2 + hβ 1 f (x n−1 ,y n−1 )+hβ 2 f (x n−2 ,y n−2 ) .
ρ(z) = −z 2 + α 1 z + α 2 ,
σ(z) = β 1 z + β 2 .
Warunki rzędu drugiego (zawierajace ˛ warunki zgodności) to
c 0 = 0 ⇒ −1+α 1 + α 2 =0,
c 1 = 0 ⇒ −α 1 − 2α 2 + β 1 + β 2 =0,
c 2 = 0 ⇒ 1 2 (α 1 +4α 2 ) − β 1 − 4β 2 =0.
Sa˛
to trzy równania z czterema niewiadomymi. Traktujac ˛ β 2 jako parametr mamy
trzy równania z trzema niewiadomymi, po rozwiazaniu ˛ otrzymujemy
Stad ˛ dostajemy
α 1 = −2β 2 , α 2 =1+2β 2 , β 1 = β 2 +2.
ρ(z) =−z 2 + −2β 2 z +1+2β 2 .
Wiadomo, że z 1 =1powinno być pierwiastkiem równania ρ(z) =0,st˛ ad
ρ(z) =−(z − 1)(z − z 2 ),
skad ˛ wyliczamy z 2 = −(1 − 2β 2 ). Warunki stabilności wymagaja, ˛ aby
−1 ≤ z 2 < 1, co implikuje − 1

20 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Dla β 2 =0dostajemy metodę o minimalnym module c 3 , |c 3 | = 1 , (tzw. metoda
3
dwukrokowa Nystroema) - wówczas z 2 = −1.
Dla β 2 = − 1 2 dostajemy c 3 = − 5 12 i z 2 =0,jesttodwukrokowametodaAdamsa-
Bashfortha.
Decydujaca ˛ dla praktyki jest stabilność równania różnicowego metody dla skończonych
wartości kroku całkowania h. Przyh 6= 0zachowanie sięci˛ agów generowanych
przez metodęzależy jednakże równieżodcechrozwi˛ azywanego problemu, tzn. postaci
funkcji f(x, y). Stabilność dla kroków niezerowych definiuje się dla asymptotycznie
stabilnego zadania liniowego, dla układu nieliniowego odpowiada to rozważaniu jego
przybliżenia liniowego .
Rozważmy jednowymiarowe zadanie liniowe
y 0 (x) = λ · y(x),
y(0) = 1, x ∈ [0,b] ,bÀ 0, (6.33)
gdzie λ ∈ C, zaśzzałożenia asymptotycznej stabilności wynika Re λ < 0, czyli
rozwiazanie ˛ problemu zbiega do zera wraz ze zmianami x od zera 0 do b. Stosuj˛ ac do
tego zadania metodę wielokrokowa ˛ uzyskujemy następujace ˛ rownanie różnicowe
y n =
kX
kX
α j y n−j + h · β j λy n−j ,
j=1
j=0
które zapiszemy w postaci
kX ¡ ¢
αj + hλβ j yn−j =0, gdzie α 0 = −1. (6.34)
j=0
Metoda wielokrokowa z krokiem h>0 jest absolutnie stabilna dla problemu (6.33)
jeśli ciag ˛ uzyskiwanych punktów rozwiazania ˛ numerycznego y 0 =1,y 1 ,y 2, ..., y n ,y n+1 , ...
zbiega do zera przy n →∞,tzn. jeśli równanie różnicowe (6.34) jest asymtotycznie
stabilne (opisuje asymptotycznie stabilny dyskretny system dynamiczny). Przypomnijmy,
że równanie (6.34) jest asymptotycznie stabilne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie
pierwiastki jego równania charakterystycznego
leżawewn˛
˛ atrz koła jednostkowego.
eρ (z; hλ) =ρ (z)+hλσ (z) (6.35)
Definicja. Zbiór wartości hλ dla którego pierwiastki wielomianu (6.35) sapołożone
˛
wewnatrz ˛ koła jednostkowego nazywamy obszarem absolutnej stabilności metody wielokrokowej
zdefiniowanej wielomianami ρ (z) i σ (z) , metodę nazywamy absolutnie stabilna˛
w tym obszarze.

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 21
Pierwiastki wielomianu eρ (z; hλ) mogaoczywiście ˛
być zespolone,st˛ ad obszary
absolutnej stabilności sapodzbioramipłaszczyzny ˛
zmiennej zespolonej. Ponadto,
ponieważ Re (hλ) < 0 (bo Re (λ) < 0 i h>0), to zbiory absolutnej stabilności leża˛
wlewejpółpłaszczyźnie. Można łatwo pokazać, że jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu
ρ (z) , poza jednym pojedynczym równym jedności, majamoduły ˛ mniejszeod
jedności , to dla dostatecznie małych wartości hλ metoda jest absolutnie stabilna
(obszar absolutnej stabilności ma niepuste wnętrze).
Charakter kształtu obszarów absolutnej stabilności dla metod Adamsa pokazano
na rysunku 6.4. Odcinek [q,0] (zob. rysunek) nazywany jest odcinkiem absolutnej
stabilności, wartości lewego krańca q tego odcinka (|q| jest jego długościa) ˛ podane sa˛
wnastępnym podrozdziale w tabeli 8.
Przedstawiona definicja absolutnej stabilnościprzenosisię natychmiast na przypadek
wielowymiarowy
y 0 (x) = Ay (x) , y ∈R m ,
y (0) = 1, x ∈ [0,b] ,bÀ 0, (6.36)
gdzie wszystkie wartości własne λ i macierzy A majaujemneczęści ˛
rzeczywiste, Reλ i <
0, ponieważ układ (6.36) ma mieć asymptotycznie stabilne rozwiazania. ˛ Dla absolutnej
stabilności metody wielokrokowej z krokiem h zastosowanej do problemu (6.36)
warunkiem koniecznym i dostatecznym jest aby dla każdej wartości własnej λ i , iloczyn
hλ i należał do obszaru absolutnej stabilności metody.
Rysunek 6.4: Kształt obszarów absolutnej stabilności metod Adamsa
6.2.4 Metody predyktor-korektor
Najpraktyczniejszametod˛
˛ a wielokrokowabyłaby ˛ metoda o:

22 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
1. wysokim rzędzie i małej stałej błędu,
2. możliwie dużym obszarze absolutnej stabilności,
3. możliwie małej ilości obliczeń naiterację.
Metody jawne gorzej spełniajawarunki1i2,natomiastmetodyniejawnespełniaj ˛
a˛
warunki1i2,aleniespełniaja˛
warunku 3, gdyż wkażdej iteracji trzeba rozwiazywać
˛
względem y n równanie nieliniowe
−y n +
kX ¡ ¢
α
∗
j y n−j + hβ ∗ jf n−j + hβ
∗
0 f (x n ,y n )=0. (6.37)
j=1
Praktyczne realizacje metod wielokrokowych to algorytmy typu predyktor - korektor
(ang. predictor-corrector, P-K).
Np. dla metody k-krokowej realizacja w postaci struktury predyktor-korektor
P k EC k E (z jednym obliczeniem korektora w każdej iteracji metody) ma postać:
P: y n
[0] P
= k P
α i y n−j + h k β j f n−j
j=1
j=1
³ ´
E: f n
[0] = f x n ,y n
[0]
P
C: y n = k P
α ∗ jy n−j + h k β ∗ jf n−j + hβ ∗ 0f n
[0]
j=1
j=1
(P - prediction)
(E - evaluation)
(C - correction)
E: f n = f (x n ,y n ) (E - evaluation)
Interpretacja: Iteracja predyktora to obliczenie dobrego punktu poczatkowego
˛
(tym lepszego im mniejszy krok h iwyższy rzad ˛ algorytmu predyktora) dla iteracji
algorytmu korektora metoda˛
iteracji prostej. W algorytmie P k EC k Eprzedstawionym
powyżej wykonujemy tylko jednaiterację ˛ algorytmu korektora. Podkreślmy: metoda
P-K to w istocie przybliżony sposób realizacji metody niejawnej (korektora), algorytm
predyktora gra tu rolę pomocnicz˛ a.
Dla metod Adamsa algorytm P k EC k Emapostać:
P: y [0]
n
P
= y n−1 + h k β j f n−j ,
j=1
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C:
P
y n = y n−1 + h k
E: f n = f (x n ,y n ) .
j=1
β ∗ jf n−j + hβ ∗ 0f [0]
n ,
Długości odcinka absolutnej stabilności dla metod Adamsa jawnej, niejawnej i
P k EC k E przedstawiono w tabeli 8.

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 23
Tabela 8. Lewy kraniec odcinka absolutnej stabilności metod Adamsa
k AB (jawna) AM (niejawna) P k EC k E
1 −2 −∞ −2
2 −1 −6 −2.4
3 −0.55 −3 −2
4 −0.3 −1.83 −1.4
5 −0.18 −1.18 −1.05
6 −0.12 −0.78 −0.76
Dokładniejsze wyniki otrzymamy prowadzac ˛ kilka iteracji algorytmu korektora.
Dla m iteracji korektora w jednym kroku metody, tj w metodzie P k (EC k ) m E, mamy:
P: y [0]
n
E 1 :
f [s]
n
K: y [s+1]
n
P
= k P
α i y n−j + h k β j f n−j , s =0,
j=1
= f(x n ,y n [s] )
P
= k
j=1
j=1
α ∗ jy n−j + h k P
s = s +1,
jeśli sr.
Wniosek: Jesli rzad ˛ predyktora jest równy rzędowi korektora, to dla dostatecznie
małych wartości kroku h, tzn. gdyczęść główna błędu jest dominujaca, ˛ uzyskanie

24 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
maksymalnego rzędu (tj. rzędu metody korektora) nastepuje już w algorytmie P-K z
jednaiteracj˛
˛ akorektora.
6.2.5 Oszacowania błędu aproksymacji metod P-K
Zgodnie z twierdzeniem o rzędzie metody P-K, jeśli tylko rzad ˛ predyktora p p jest nie
niższy od rzędu korektora p, torz˛ ad metody P-K jest rzędem korektora p. Przyjmujac
˛ za podstawę oszacowaniabłędu aproksymacji metody P-K część głównabłędu
˛
korektora,
δ n (h) =c ∗ p+1 hp+1 y (p+1) (x n ) , (6.39)
trzeba oszacować pochodn˛ a y (p+1) (x n ) , np.
wsteczna:
˛
czyli oszacowanie błędu
y (p+1) (x n ) ∼ = 5(p+1) y (x n )
, skad
˛
h p+1
h p+1 y (p+1) (x n ) ∼ = 5 (p+1) y (x n ) ∼ = 5 (p+1) y n ,
przybliżajac ˛ ja˛
odpowiedniaróżnic ˛ a˛
|δ n (h) | ∼ = |c ∗ p+1 5p+1 y n |, (6.40)
gdzie c ∗ p+1 to stała błędu korektora. Oszacowanie (6.40) można obliczać wyliczajac
˛
wartość róznicy wstecznej 5 p+1 y n w oparciu o punkty y n ,y n−1 , ..., y n−p−1 . Instnieje
jednak efektywniejszy sposób szacowania błędu aproksymacji w przypadku równych
rzędów predyktora i korektora.
Rozważmy metodeP-Kzrównymrz˛
˛
edem p predyktora i korektora. Zgodnie z
twierdzeniem o rzędzie metody P-K rzad ˛ ten jest też równyp. Oznaczaj˛ ac przez y n
[0]
wynik działania predyktora a przez y n wynik po korekcji algorytmem korektora ( y n
oznacza w ogólności rezultat m iteracji korektora, y n = y n
[m] ,m=1lub m>1)
możemy napisać
y n [0] n) = c p+1 y (p+1) (x n )h p+1 + O(h p+2 ),
y n − y(x n ) = c ∗ p+1 y(p+1) (x n )h p+1 + O(h p+2 ),
Zaniedbujac ˛ człony O(h p+2 ) możemy z powyższych równań wyeliminować pochodna˛
y (p+1) (x n ). Stad
˛
y n − y(x n )= c∗ p+1
(y n [0] − y(x n )).
c p+1
Dodajac ˛ do obu stron − c∗ p+1
c p+1
(y n − y(x n )) uzyskujemy
czyli
c p+1 − c ∗ p+1
c p+1
(y n − y(x n )) = c∗ p+1
c p+1
(y [0]
n − y n )
c ∗ p+1
y n − y(x n )=
(y
c p+1 − c ∗ n [0] − y n ). (6.41)
p+1

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 25
Stad ˛ estymatę bleduδ n (h n−1 ) można bardzo łatwo wyliczyć wykorzystyj˛ ac jedynie
wartości y n [0] i y n ,
c ∗ p+1
δ n (h n−1 )=
(y
c p+1 − c ∗ n [0] − y n). (6.42)
p+1
Na przykład, dla metody P-K Adamsa P 4 EC 3 E z 4-ro etapowym predyktorem
Adamsa-Bashfortha i 3-etapowym korektorem Adamsa-Moultona uzyskujemy (zob.
stałe błęduwtablicach6i7,obiemetodys˛ arzędu 4)
y n − y(x n )=− 19
270 (y[0] n − y n ).
Dla metod P k EC k E Adamsa, gdzie rzad ˛ predyktora jest niższy o jeden od rzędu
korektora, mamy dwie możliwości postępowania:
1. Zamiast metody P k EC k E stosujemy metodę P k (EC k ) 2 E, tzn. wykonujemy dwie
iteracje korektora w każdym kroku (m =2, zob. twierdzenie o rzędzie metody
P-K). Pozwala nam to na zachowanie rzędu metody P-K równego rzędowi k-
krokowego korektora - ale nie możemy stosować efektywnego sposobu szacowania
błęduopartegonazależności (6.42). Pozostaje mniej efektywny sposób
oparty na wykorzystaniu ogólnej zależnosci (6.40), lub:
2. Wykonujemy wstępny krok i szacujemy bład ˛ tak jak w metodzie P k EC k-1 E,
tj. dla k-1 krokowego korektora - rzędy predyktora i korektora sawówczas
˛
równe. Natomiast już po oszacowaniu i akceptacji błędu krok finalny korektora
możemy wykonać metod˛ ak-krokow˛ ajakodokładniejszaodk-1krokowej,co
˛
powinno nam tylko poprawić wiarygodność oszacowania błędu (krok metoda˛
Adamsa-Moultona rzędu k+1 powinien być dokł adniejszy niż metod˛ arzędu k).
Ten sposób postępowania będzie jednak efektywny, jeśli przejście od wartości
obliczonych k-1 krokowym korektorem do wartości wyznaczanych korektorem
k-krokowym będzie proste, wymagajace ˛ niewielu obliczeń. Jest to możliwe jesli
będziemy implementować metodyAdamsawtzw.wersji różnicowej.
6.2.6 Metody Adamsa w wersji różnicowej
Stosujac ˛ zamiast wzoru interpolacyjnego Lagrange’a (zob. rozdz. 6.2.1) wzór interpolacyjny
w postaci Newtona (wstecz) dostajemy równoważnapostaćwzorunametody
˛
Adamsa-Bashfortha wykorzystujac ˛ aróżnice ˛ wsteczne
Xk−1
y n = y n−1 + h · γ j ·5 j f n−1 ,
gdzie f n−1 = f (x n−1 ,y n−1 ), f n−2 = f (x n−2 ,y n−2 ) , ... ,a różnice wsteczne liczone s ˛ a
w oparciu o punkty f n−1 ,f n−2 , ... , f n−k .
j=0

26 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Podobnie uzyskuje się postaćrównoważna˛
wzoru iteracyjnego dla metod Adamsa-
Moultona wykorzystujac ˛ aróżnice ˛ wsteczne: .
kX
y n = y n−1 + h · γ ∗ j ·5 j f n ,
j=0
gdzie różnice wsteczne liczone sa˛
w oparciu o punkty f n = f n (x n ,y n ),f n−1 ,f n−2 , ... , f n−k .
Wartości parametrów γ j i γ ∗ j dla algorytmów metod Adamsa w postaci wzorów
iteracyjnych z różnicami wstecznymi podane sa˛
w tabeli 9. Należy zwrócić uwagę, że
wartości współczynników γ j i γ ∗ j s a ˛ dla tych samych wartości j te same dla algorytmów
różnego rzędu.
Tabela 9. Parametry metod Adamsa w wersji różnicowej
j 0 1 2 3 4 5 6 7
γ j 1
1
2
5
12
3
8
251
720
95
288
19087
60480
36799
120960
γ ∗ j 1 − 1 2
− 1 12
− 1
24
− 19
720
− 3
160
− 863
60480
− 1375
120960
Dla metod Adamsa stałe błędu zwiazane ˛ sa˛
jednoznacznie nie tylko ze współczynnikami
α j i β j ,aleoczywiście też zewspółczynnikami γ j ,mamy:
Twierdzenie [6].
Dla każdego k =1, 2, ... k-krokowa metoda Adamsa-Bashfortha jest rzędu p = k
iostałej błędu c k+1 = −γ k ,zaś k-krokowa metoda Adamsa-Moultona jest rzędu
p = k +1iostałej błędu c ∗ k+2 = −γ∗ k+1 .
Nawiazuj ˛ ac ˛ do określenia metod jawnych i niejawnych Adamsa w postaci różnicowej
można algorytm predyktor-korektor Adamsa P k EC k−1 Ezapisaćwnastępujacej
˛
równoważnej postaci różnicowej:
P: y [0]
n
= y n−1 + h k−1 P
j=0
j=0
γ j 5 j f n−1 ,
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C: y n = y n−1 + h k−1 P
γ ∗ j∇ j f n [0] ,
E: f n = f (x n ,y n ) ,
gdzie 5 j f n−1 , j =0, 1,...,k − 1 saróżnicami ˛ wstecznymi określonymi na podstawie
wartości f n−1 , ..., f n−k ,natomiast∇ j f n [0] , j =0, 1, ..., k − 1 saróżnicami ˛ wstecznymi
określonymi na podstawie wartości f n [0] ,f n−1 , ..., f n−k+1 .Ponieważ w przypadku tym
predyktor i korektor sa˛
tego samego rzędu, to do szacowania błędu aproksymacji

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 27
można zastosować wzór (6.42), który w języku parametrów wersji różnicowych przyjmuje
postać
δ n (h n−1 )=
γ∗ k
(y
γ k − γ ∗ n [0] − y n ). (6.43)
k
Podanawyżej ˛ podstawowapostaćróżnicow ˛
a˛
metody P-K Adamsa P k EC k−1 Emożna
przekształcić do prostszej postaci równoważnej. Mianowicie, uwzględniajac ˛ zależność
γ ∗ j = γ j − γ j−1 ,
zob. tabela 9 czy też dowódw[6],możemy napisać
Xk−1
y n = y n−1 + h γ ∗ j ·5 j f n
[0]
j=0
= y n−1 + hγ 0 f [0]
n
= y n−1 + hγ 0 f [0]
n
Xk−1
+ h (γ j − γ j−1 )∇ j f n
[0]
j=1
Xk−1
+ h
j=1
γ j ∇ j f [0]
n
Xk−1
− h
j=1
Odpowiednio zmieniajac ˛ granice sumowania mamy dalej
y n = y n−1 + hγ 0 f [0]
n
k−1
+ h X
j=1
= y n−1 + hγ k−1 ∇ k−1 f [0]
n
γ j ∇ j f [0]
n
k−2
− h X
γ j−1 (∇ j−1 f [0]
n −∇ j−1 f n−1 )
j=0
γ j (∇ j f [0]
n −∇j f n−1 )
k−1
+ h X
γ j ∇ j f n−1 − hγ k−1 ∇ k−1 f n−1
j=0
= y [0]
n + hγ k−1 (∇ k−1 f [0]
n −∇ k−1 f n−1 )
i finalnie
y n = y n [0] + hγ k−1 ∇ k f n [0] , (6.44)
czyli różnicowa postać równoważna algorytmu P k EC k−1 E:
P: y [0]
n
= y n−1 + h k−1 P
j=0
γ j 5 j f n−1 ,
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C: y n = y n [0] + hγ k−1 ∇ k f n [0] ,
E: f n = f (x n ,y n ) ,
oraz wzór na szacowanie błędu aproksymacji (6.43) można przekształcić dopostaci
δ n (h n−1 ) =
−γ ∗ k
γ k − γ ∗ k
hγ k−1 ∇ k f [0]
n
= γ k − γ k−1
hγ
−γ k−1 ∇ k f n
[0]
k−1
= −h(γ k − γ k−1 )∇ k f [0]
n ,

28 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
czyli ostatecznie
δ n (h n−1 )=−hγ ∗ k ∇k f n [0] , (6.45)
gdzie ∇ k f n
[0] jest różnica˛
wstecznaokreślon ˛ anapodstawiewartości ˛
f n [0] ,f n−1 , ..., f n−k .
Zwróćmy uwagę, że różnicę tęmożna obliczyć bezpośredniopoobliczeniuwartości
predyktora - nie dokonuj ac ˛ iteracji korektora jeśli uzyskana dokładnośćjestzbytmała.
Jednak oszczędność tajestwistocieniewielka,gdyżmaj˛ ac obliczone y n [0] oraz ∇ k f n
[0]
wykonanie iteracji korektora wg wzoru (6.44) jest proste. Natomiast wzór (6.45)
pozwala na dalsze jego przekształcenie do interesujacej ˛ postaci. Mianowicie, wypisujac
˛ postać różnicowaakgorytmuP-KAdamsaP ˛
k EC k Emamy:
P: y [0]
n
= y n−1 + h k−1 P
j=0
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C:
P
y n = y n−1 + h k
E: f n = f (x n ,y n ) ,
Stad ˛ oznaczajac
˛
j=0
γ j 5 j f n−1 ,
γ ∗ j∇ j f [0]
n ,
• y (+1)
n
- rezultat kroku algorytmem P k EC k EAdamsa,
• y n - rezultat kroku algorytmem P k EC k-1 EAdamsa,
mamy:
y n (+1) − y n = hγ ∗ k ∇k f n [0] , (6.46)
tzn. wzór (6.45) można przedstawić wpostaci
δ n (h n−1 )=y n − y (+1)
n . (6.47)
Stosowanie oszacowania błędu słusznego dla algorytmu P k EC k-1 E do algorytmu
P k EC k E, tj. dokł adniejszego, jedynie zwiększa wiarygodność oszacowania błędu.
Stad ˛ stosujac ˛ algorytm P k EC k E z oszacowaniem błędu dla P k EC k-1 Emożemy bardzo
efektywnie (bez dodatkowego nakładu obliczeń) wyznaczać to oszacowanie z wzoru
(6.47), gdyż przystosowaniuwersjiróżnicowych liczac ˛ wartości rozwiazania ˛ korektorem
k-krokowym niejako ”po drodze” liczymy wartości korektorem (k-1)-krokowym.
6.2.7 Zmienny krok i rzad ˛ całkowania
Konstruujac ˛ algorytm wielokrokowy ze zmiennadługości ˛ akroku,proponowan˛
˛
adługość
nowego kroku wyznaczamy identycznie jak w metodach jednokrokowych RK
(zob.rozdz.5.1.1):
h n = s · α · h n−1 , (6.48)

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 29
gdzie
∙
α =
ε
|δ n (h n−1 )|
¸ 1
p+1
, (6.49)
|δ n (h n−1 ) | - oszacowanie części głównej błędu aproksymacji (w iteracji z punktu
x n−1 z krokiem h n−1 ),
s -współczynnik bezpieczeństwa,
ε -dokładność,
ε = |y n |·ε w + ε b . (6.50)
W metodach wielokrokowych opartych na równoodległych punktach (a takie omawiamy),
tzn. x n−j = x n − jh, trudniej jest dokonywać zmianydł ugości kroku niż w
metodach jednokrokowych. Dla wykonania kroku z nowadługości ˛ a˛
h n = sαh n−1
trzeba znać bowiemwartości y i f (x, y) w punktach x = x n − j (sαh n−1 ), j =1, ..., k.
• Zwiekszanie ˛ kroku (sα > 1): jeśli sα jest całkowite, to trzeba wykorzystać k
wartości y n−j i f n−j odległychodsiebieosαh n−1 anieoh n−1 -tj. trzeba
odczytać tewartości spośród znacznie wcześniej obliczonych. Jeśli sα nie jest
całkowite, to potrzebne poprzednie wartości w ogólności nie były wyznaczone
- trzeba je wyznaczyć dokonuj˛ ac interpolacji funkcji rozwiazania ˛ na przedziale
obejmujacym ˛ potrzebne punkty i następnie obliczajac ˛ wartości funkcji f odpowiadajace
˛ tym punktom. Prostaisensown˛
˛ a, choć nieco konserwatywn areguł ˛ aktóra ˛
unika interpolacji jest zasada zdwajania kroku:
jeśli sα ≥ 2 to h n =2h n−1 , (6.51)
jeśli 1 ≤ sα < 2 to h n = h n−1 . (6.52)
• Zmniejszanie długości kroku (sα < 1): wartości y n−j i f n−j = f(x n−j ,y n−j )
potrzebne do wykonania iteracji ze zmniejszonym krokiem trzeba wyznaczyć w
drodze interpolacji rozwiazania ˛ y wpamiętanych punktach, i następnie obliczajac
˛ wartości funkcji f. Dla metod Adamsa potrzebne sa˛
jedynie poprzednie
wartościfunkcjiprawychstronf(x n−j ,y n−j ), stad ˛ efektywniej jest interpolować
od razu te wartości. Mozna tu zastosować wielomian interpolacyjny Newtona
na interpolację wsteczdlarownoodległych argumentów, dla interpolacji opartej
na l węzł ach x n−1 ,x n−2 , ..., x n−l wzór ten ma postać
W l−1 (x) =f n−1 + 5f n−1
h
(x − x n−1 )+ 52 f n−1
2h 2 (x − x n−1 )(x − x n−2 )+···
···+ 5l−1 f n−1
(l − 1)!h l−1 (x − x n−1) ···(x − x n−l+1 ) ,

30 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
gdzie h = h n−1 jest aktualnym krokiem całkowania, a różnice wsteczne 5 i f n−1 ,
i =1, ..., l − 1 liczone sanawartościach ˛
f n−1 ,f n−2 , ..., f n−l ,
5f n−1 = f n−1 − f n−2 ,
5 2 f n−1 = 5f n−1 − 5f n−2 ,
5 3 f n−1 = 5 2 f n−1 − 5 2 f n−2 ,
itd.
Przy 1 całkowitym pewne z poprzednio pamiętanych punktów mog abyćwykorzystane,
pozostałe (pośrednie) trzeba wyliczyć z interpolacji. Zamiast in-
sα
˛
terpolacji można zastosować algorytm metody RK. Najprostszaidość ˛ sensowna,
˛ ale nieco konserwatywn ametod˛ ˛ apostepowaniajeststrategia poł owienia
kroku, tj. zmniejszania kroku 1 razy, gdzie r jest najmniejsza 2
˛ liczba˛
naturalna˛
r
taka, ˛ że 1 ≤ sα. Dla zmniejszenia kroku 2 razy należy obliczyć nowepunkty
2 r
położone pośrodku między istniejacymi, ˛ można łatwo wyznaczyć wzorynate
punkty. Np. interpolujac ˛ wielomianem 4 stopnia opartym na 5 węzłach interpolacji
x n−1 ,x n−2 , ..., x n−5 potrzeba wyinterpolować dwiewartości w punktach
x n−1−1/2 ,x n−2−1/2 , odpowiednie wzory sajaknastępuje
˛
f n−1−1/2 = −5f n−5 +28f n−4 − 70f n−3 + 140f n−2 +35f n−1
128
f n−2−1/2 = 3f n−5 − 20f n−4 +90f n−3 +60f n−2 − 5f n−1
128
Ponieważ korektadługości kroku kosztuje, to należy decydować sięnani˛ a z rezerwa,
˛ wprowadzaj ac ˛ zabezpieczenia. Np. blokujace ˛ możliwośćzwiększania kroku jeśli
bezpośrednio przedtem nastapiło ˛ jego zmniejszenie, itp., aby uniknać ˛ oscylacyjnych
zmian długości kroku. Schemat blokowy przykł adowej realizacji metody P-K ze
zdwajaniem/połowieniem kroku przedstawiono na rys. 5.5.
Obok, a w pewnych zastosowaniach nawet zamiast zmiany długości kroku stosuje
się zmiany rzędu metody wielokrokowej P-K dla sterowania dokładnościa˛
obliczeń.
Zmiany rzedu ˛ sa˛
szczególnie wygodne przy stosowaniu metody P-K Adamsa w postaci
różnicowej. Zwiększanie rzędu powinno prowadzić dozmniejszania błędu, a więc
zwiększania dokładności obliczeń. Należy jednak zaznaczyć, że przynajmniej teoretycznie
zwiększenie rzędu nie zawsze musi spowodować zmniejszenieoszacowania
błędu. W ogólnym wzorze na oszacowanie błędu występuje iloczyn stałej błędu i
różnicy wstecznej, c ∗ p+1 ·5 p+1 y n , gdzie różnica wsteczna jest oszacowaniem iloczynu
h p+1 · y (p+1) (x n ). Teoretycznie istnieja˛
funkcje, np. exp(βx), β > 1, dla których
wartość pochodnej wzrasta wraz z jej rzędem. Jeśli ten wzrost jest szybszy niż malenie,
wraz ze wzrostem rzędu p, czynnika c ∗ p+1h p+1 , to możliwa jest sytuacja wzrostu
błędu wraz ze wzrostem p (a więc i malenia błędu z maleniem p, symetrycznie).

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 31
Punkt startowy: x 0 = a, (x ε [a, b])
Parametry dokładności: ε w , ε b
Krok początkowy: h = h 0
W punktach x 0 , x 0 +h, ..., x 0 +(k-1)h wyznacz
rozwiązanie procedurą startową, n := k
wzrosth := .TRUE.
Startując z punktu x n-1 z krokiem h n
wyznacz metodą predyktor-korektor:
- rozwiązanie y n ,
- oszacowanie błędu δ n (h n ).
Wylicz współczynnik korekty długości kroku α,
a następnie proponowaną korektę długości kroku:
h * n+1 = sαh n , (s = wsp. bezpieczeństwa)
T
sα < 1
N
wzrosth := .FALSE.
N
x n +h n =b
T
N
h * n+1

32 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Metody ze stałym krokiem stosuje się w programach symulacyjnych, dla przykładu
program SIMULINK w wersji 2 wykorzystuje właśnie metody ze stałym krokiem i zmiennym
rzędem.Efektywne, profesjonalne implementacje metod Adamsa wykorzystuja˛
dość złożone algorytmicznie wersje z nierównoodległymi punktami, z bieżacymi ˛ zmianami
zarówno długości kroku jak i rzędu metody. Metody te sa˛
samostartujace,
˛
zmiana długości kroku i rzędu jest w nich z kroku na krok łatwa. Satojednez
˛
najlepszych aktualnie znanych algorytmów.
6.3 RÓWNANIA ŹLE UWARUNKOWANE
Rozważmy przykład:
y 0 (x)= Ay(x),
∙ ¸ ∙ ¸
−667 333
0
A =
y 0 = x ∈ [0, 10] .
666 −334
3
Jak łatwo wyliczyć
Sp (A) ={λ 1 ,λ 2 } = {−1, −1000} ,
zaś rozwi˛ azanie:
y 1 (x) = e −x − e −1000x ,
y 2 (x) = 2e −x + e −1000x .
Rozwiazanie ˛ jest szybko zmienne w krótkiej poczatkowej ˛ fazie (dominuje e −1000x ),
anastępnie bardzo wolno zmienne. Efektywna procedura powinna całkować pierwszy
odcinek z krokiem 1000 razy mniejszym (stosunek wartości własnych). Np. dla
metody P 3 EC 3 E z warunku absolutnej stabilności mamy (odcinek absolutnej stabilności
wynosi [−2, 0]):
|λ 1 h| < 2 ⇒ h< 2
|λ 1 | =2,
|λ 2 h| < 2 ⇒ h< 2
|λ 2 | =2· 10−3 .
Procedura całkuje najpierw z krokiem mniejszym od 2 · 10 −3 , którego nie można
zwiększyć, gdyż wychodzi się poza obszar absolutnej stabilności - mimo że należałoby
całkować dalej z krokiem 1000 razy większym. Algorytm usiłuje zwiększać krok (tak
mu podpowiada szacowanie błędów), ale stajac ˛ się niestabilnym generuje zwiazan ˛ az ˛
tym lawinę błędów - i musi skracać krokaż wejdzie w obszar absolutnej stabilności.
Dla liniowego układu równań y 0 = Ay mówimy, że jest on żle uwarunkowany
(”sztywny”, ang.stiff), jeśli iloraz modułów wartości własnych macierzy A, największegodonajmniejszego,jestduży
(znacznie większy od jedności). W przypadku
nieliniowego układu równań bierzemypoduwagę macierz jego przybliżenia liniowego
(macierz jakobianowa)..
˛

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 33
Dla układów źle uwarunkowanych należy stosować metody numeryczne o bardzo
dużych, nieskończonych obszarach stabilności absolutnej. Nie sa˛
takimi omawiane
wcześniej metody predyktor-korektor Adamsa czy metody Runge-Kutty (obszary absolutnej
stabilności metod R-K sategosamegorzędu ˛
co metod Adamsa, zob. np.
[6]).
Przykład.
Dla metody Eulera (metoda jawna) mamy:
y n = y n−1 + h · f (x n−1 ,y n−1 ) ,
dla równania
y 0 = λy, (λ

34 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
6.3.1 Metody BDF (wstecznego różniczkowania)
Metody BDF (Backward Differentiation Formulas, zob. [6]) jawne:
y n =
kX
α j y n−j + h · β 1 f (x n−1 ,y n−1 ) (6.53)
j=1
Metody BDF niejawne:
y n =
kX
α ∗ j y n−j + h · β ∗ 0f (x n ,y n ) (6.54)
j=1
Parametry metod BDF podano w tabelach 9 i 10.Ponieważ nieskończony obszar absolutnej
stabilności posiadaja˛
jedynie metody niejawne, to stosuje się jedynie strukturę
predyktor - korektor. Wykonujemy przy tym nie jednaiterację ˛ korektora, ale tyle
ile potrzeba aż do uzyskania zbieżności wg określonego kryterium stopu (rozwiazy-
wanie równania nieliniowego metodaiteracjiprostej,możliwe ˛
i polecane jest też zas-
˛
tosowanie efektywniejszego algorytmu Newtona).
Kształt obszarów absolutnej stabilności dla metod BDF niejawnych pokazano na
rysunku 6.6. Znane sa również metody niejawne typu Runge-Kutty, o nieskończonych
obszarach absolutnej stabilnosci.
Tabela 9. Parametry metod jawnych BDF
c p+1 p k β 1 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5
− 1 2
1 1 1 1
− 1 3
2 2 2 0 1
− 1 4
3 3 3 − 3 2
3 − 1 2
− 1 4 4 4 − 10
1
6 −2
5 3 3
− 1 6
5 5 5 − 65
12
10 −5
5
3
− 1 4
− 1 7
6 6 6 − 77
10
15 −10 5 − 3 2
1
5

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 35
Tabela 10. Parametry metod niejawnych BDF
c p+1 p k β ∗ 0 α ∗ 1 α ∗ 2 α ∗ 3 α ∗ 4 α ∗ 5 α ∗ 6
1
1 1 1 1
2
2
2
2 2
9 3
4
3
− 1 3
3
22
3 3
6
11
18
11
− 9
11
2
11
12
12
4 4
125 25
48
− 36
25 25
16
25
− 3 25
10
60
5 5
137 137
300
− 300
137 137
200
137
− 75
137
12
137
20
60
6 6
343 147
360
− 450
147 147
400
− 225
147 147
72
147
− 10
147
Rysunek 6.6: Kształt obszarów absolutnej stabilności metod BDF niejawnych
Zadania.
1. Zbadaj zbieżność orazokreśl rzad ˛ i stałabłędu ˛ metody
y n = 9y n−1 − y n−3
8
gdzie f i = f (x i ,y i ).
+3h f n +2f n−1 − f n−2
,
8

36 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
2. Dany jest wielomian ρ(z) =−z 2 +1. Dobierz tak wielomian σ(z), abyuzyskać
metodę jawn˛ adwukrokow˛ a stabilnamaksymalnegorzędu.
˛
3. Co można powiedzieć o absolutnej stabilności metod jawnych dwukrokowych
maksymalnego rzędu ? (por. przykład w rozdz. 5.2.3.)
4. Zbadaj stabilność metod jawnych BDF jedno-, dwu-, i trzykrokowej.
5. Zbadaj, dla jakiego zakresu wartości kroku h stabilne będziezastosowaniemetody
dwukrokowej jawnej Adamsa do zadania
y 0 = −5y.

Bibliografia
[1] B. Baron: Metody numeryczne w Turbo Pascalu. Wyd. Helion, Gliwice 1995.
[2] M. Dryja, J.M Jankowscy: Przeglad ˛ metod i algorytmów numerycznych, cz. II.
WNT, Warszawa 1988.
[3] Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wasowski: ˛ Metody numeryczne. WNT, Warszawa
1993.
[4] J.M Jankowscy: Przeglad ˛ metod i algorytmów numerycznych, cz. I. WNT,
Warszawa 1988.
[5] J. Krupka, R.Z. Morawski, L.J. Opalski: Metody numeryczne. Oficyna Wyd. PW,
Warszawa 1997.
[6] A. Krupowicz: Metody numeryczne zagadnień poczatkowych
˛
różniczkowych zwyczajnych. PWN, Warszawa 1986.
równań
[7] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes
in C. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1992 (second ed.).
[8] J.Stoer,R.Bulirsch:Wstęp do analizy numerycznej. PWN, Warszawa 1987.
[9] A. Zalewski, R. Cegieła: MATLAB - obliczenia numeryczne i ich zastosowania.
Wyd. Nakom, Poznań 1996.
37