Równania różniczkowe zwyczajne

4 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Metoda Eulera jest najprostsza, ˛ ale i najmniej dokładna. ˛ Stad ˛ nie ma ona większego
znaczenia praktycznego. Natomiast tzw. zmodyfikowane metody Eulera podane
poniżej maja już znaczenie praktyczne, jako stosunkowo najprostsze metody nie
generujace ˛ w typowych sytuacjach zbyt dużych błędów.
Zmodyfikowana metoda Eulera ( metoda punktu środkowego):
y n+1 = y n + hf(x n + 1 2 h, y n + 1 2 hf (x n,y n )) (6.6)
Metoda Heuna (też modyfikacja metody Eulera):
y n+1 = y n + 1 2 h [f (x n,y n )+f (x n + h, y n + hf (x n ,y n ))] (6.7)
Czytelnikowi pozostawiamy zastanowienie się nad interpretacjagraficzn ˛ atychmetod
˛
i porównanie ich z metodaEulera.
˛
6.1 METODY JEDNOKROKOWE
Ogólny wzór określajacypojedynczykroktzw.metod ˛
jednokrokowych:
y n+1 = y n + h Φ f (x n ,y n ; h) ,
y 0 = y a , gdzie x n = x 0 + nh, n =0, 1, ... (6.8)
zaś Φ f (x n ,y n ; h) to funkcja definiujaca ˛ metodę. Możemy napisać
Φ f (x n ,y n ; h) = y n+1 − y n
, (h 6= 0).
h
Zdefiniujmy
∆ f (x n ,y n ; h) = y (x n + h) − y (x n )
h
Metoda jest zbieżna, gdy
h → 0 ⇒ y (x n ; h) → y (x) ,
tzn. gdy h → 0 ⇒ Φ f (x n ,y n ; h) → ∆ f (x n ,y n ; h) .
Zkoleimamy
∆ f (x n ,y n ; h) → h→0 y 0 (x n )=f (x n ,y n ) .
St ˛ ad warunkiem aproksymacji (też: wrunkiem zgodności metody z równaniem) nazywamy
warunek
Φ f (x, y;0)=f (x, y)