Równania różniczkowe zwyczajne

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 17
tzn. bład ˛ aproksymacji r n (h) informuje o tym, jaki bład ˛ wnosi metoda w kroku x n ,a
więc przy założeniu y n−j = y(x n−j ),j=1,...,k. Łacz ˛ ac ˛ równanie metody i równanie
błędu dostajemy:
y n − y(x n )=hβ 0 [f(x n ,y n ) − f(x n ,y(x n ))] + r n (h) .
Stosujac ˛ twierdzenie o wartości średniej dostajemy dalej
r n (h) =(1− hβ 0
∂f
∂y (x n,ζ n ))(y n − y(x n )), (6.26)
gdzie ζ n (y n, y(x n )). Tak więc dla metody jawnej bład ˛ aproksymacji jest równy różnicy
y n − y(x n ),adlametodyniejawnej jest proporcjonalny do tej różnicy, przy czym
współczynnik proporcjonalności jest tym bliższy 1 im mniejsza wartośc kroku h.
Przyjmujac ˛ x n−j = x n − jh (stały krok), j =0, 1,...,k mamy
r n (h) =
kX
α j y (x n − jh)+h
j=0
gdzie α 0 = −1.
kX
β j y 0 (x n − jh) ,
Rozwijajac ˛ y (x n − jh) i y 0 (x n − jh) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x n (jeśli
tylko y (x) jest p+1 razy różniczkowalna, p ≥ 1), dostajemy
gdzie
c 0 =
p+1
X
r n (h) =c 0 y (x n )+ h m c m y (m) (x n )+O ¡ h p+2¢ , (6.27)
kX
α j = −1+
j=0
c 1 = −
c m = 1 m!
kX
jα j +
j=1
j=1
kX
j=0
kX
j=1
β j
m=1
α j
kX
(−j) m 1
α j +
(m − 1)!
j=0
kX
(−j) (m−1) β j , m ≥ 2. (6.28)
Metoda wielokrokowa jest rzedu ˛ p jeśli c 0 , ..., c p =0, c p+1 6=0.Dlametodyrzędu
p bład ˛ aproksymacji wyraża się wzorem
j=1
r n (h) =c p+1 h p+1 y (p+1) (x n )+O(h p+2 ), (6.29)
gdzie wartość c p+1 to stałabł ˛ edu,zaś ˛ c p+1 h p+1 y (p+1) (x n ) to cześćgłówna ˛ błędu sproksymacji.
Wartości stałych błędu metod Adamsa-Bashfortha podano w tabeli 6, a
Adamsa-Moultona w tabeli 7.