RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

More documents

Recommendations

Info

14 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 6.2 METODY WIELOKROKOWE Ogólna postać wzorudefiniujacego ˛ krok (iterację) metody k-krokowej liniowej: kX kX y n = α j y n−j + h β j · f (x n−j ,y n−j ) , j=1 y 0 = y a . Metoda wielokrokowa jest jawna (ang. explicit method), jeśli β 0 = 0. Dla metody jawnej wartość y n zależy jawnie (explicite) od wartości y i f(x, y) jedynie w poprzednich (już obliczonych) punktach, tj od wartości y n−1 ,y n−2 ,...,y n−k ,f n−1 = f (x n−1 ,y n−1 ) ,f n−2 = f (x n−2 ,y n−2 ) , ..., f n−k = f (x n−k ,y n−k ) . Metoda wielokrokowa jest niejawna ( ang. implicit method), jeśli β 0 6=0. Dla metody niejawnej nowa wartość y n obliczana jest na podstawie k poprzednich wartości y n−1 , ..., y n−k i f n−1 , ..., f n−k gdzie f j = f (x j ,y j ),orazrównieżwartości w punkcie bieżacym ˛ f n = f(x n ,y n ), tj. dla wyznaczenia y n trzeba w istocie rozwiazać ˛ równanie (nieliniowe jeśli f nieliniowa) ϕ (y n )=0,gdzie ϕ (y n ) df = −y n + kX α j y n−j + h · j=1 j=0 kX β j f (x n−j ,y n−j )+hβ 0 f (x n ,y n ) . j=1 Dla β 0 6=0równanie to może mieć niejednoznaczne rozwiazanie, ˛ jest ono jednoznaczne jeśli h
P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 15 Metody Adamsa dostajemy rozważajac ˛ to równanie na przedziale [x n−1 ,x n ]: y (x n )=y (x n−1 )+ Z x n f (t, y (t)) dt. x n−1 Metody jawne (Adamsa - Bashfortha) Funkcję podcałkowaprzybliżamy ˛ wielomianem interpolacyjnym W (x) stopniaconajwyżej k − 1 opartym na węzłach x n−1 , ..., x n−k ,przyjmuj˛ ac y (x n−j ) ∼ = y n−j .Stosuj˛ ac wzór interpolacyjny Lagrange’a mamy f (x, y (x)) ∼ kX = W (x) = f (x n−j ,y n−j ) · L j (x) , j=1 kX y n = y n−1 + f (x n−j ,y n−j ) · j=1 gdzie L j (x) to wielomiany Lagrange’a, Z x n x n−1 L j (t) dt L j (x) = kY m=1,m6=j x − x n−m x n−j − x n−m . Stad ˛ po scałkowaniu, przy założeniu x n−j = x n − jh, j =1, 2, ..., k, otrzymujemy: y n = y n−1 + h kX β j f (x n−j ,y n−j ) , gdzie wartości współczynników β dla kilku wartości k podano w tabeli 4. Tabela 4. Parametry metod Adamsa-Bashfortha (jawnych) j=1 k β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 β 6 β 7 1 1 - metoda Eulera 2 3 2 − 1 2 23 3 − 16 12 12 55 4 − 59 24 24 1901 5 − 2774 720 720 4277 6 − 7923 1440 1440 5 12 37 24 − 9 24 2616 − 1274 720 720 9982 − 7298 1440 1440 251 720 2877 1440 − 475 1440 7 198721 − 447288 60480 60480 705549 − 688256 60480 60480 407139 − 134472 60480 60480 19087 60480
Page 1 and 2: Rozdział 6 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Page 3 and 4: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 13: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 37: Bibliografia [1] B. Baron: Metody n

RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?