Równania różniczkowe zwyczajne

30 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
gdzie h = h n−1 jest aktualnym krokiem całkowania, a różnice wsteczne 5 i f n−1 ,
i =1, ..., l − 1 liczone sanawartościach ˛
f n−1 ,f n−2 , ..., f n−l ,
5f n−1 = f n−1 − f n−2 ,
5 2 f n−1 = 5f n−1 − 5f n−2 ,
5 3 f n−1 = 5 2 f n−1 − 5 2 f n−2 ,
itd.
Przy 1 całkowitym pewne z poprzednio pamiętanych punktów mog abyćwykorzystane,
pozostałe (pośrednie) trzeba wyliczyć z interpolacji. Zamiast in-
sα
˛
terpolacji można zastosować algorytm metody RK. Najprostszaidość ˛ sensowna,
˛ ale nieco konserwatywn ametod˛ ˛ apostepowaniajeststrategia poł owienia
kroku, tj. zmniejszania kroku 1 razy, gdzie r jest najmniejsza 2
˛ liczba˛
naturalna˛
r
taka, ˛ że 1 ≤ sα. Dla zmniejszenia kroku 2 razy należy obliczyć nowepunkty
2 r
położone pośrodku między istniejacymi, ˛ można łatwo wyznaczyć wzorynate
punkty. Np. interpolujac ˛ wielomianem 4 stopnia opartym na 5 węzłach interpolacji
x n−1 ,x n−2 , ..., x n−5 potrzeba wyinterpolować dwiewartości w punktach
x n−1−1/2 ,x n−2−1/2 , odpowiednie wzory sajaknastępuje
˛
f n−1−1/2 = −5f n−5 +28f n−4 − 70f n−3 + 140f n−2 +35f n−1
128
f n−2−1/2 = 3f n−5 − 20f n−4 +90f n−3 +60f n−2 − 5f n−1
128
Ponieważ korektadługości kroku kosztuje, to należy decydować sięnani˛ a z rezerwa,
˛ wprowadzaj ac ˛ zabezpieczenia. Np. blokujace ˛ możliwośćzwiększania kroku jeśli
bezpośrednio przedtem nastapiło ˛ jego zmniejszenie, itp., aby uniknać ˛ oscylacyjnych
zmian długości kroku. Schemat blokowy przykł adowej realizacji metody P-K ze
zdwajaniem/połowieniem kroku przedstawiono na rys. 5.5.
Obok, a w pewnych zastosowaniach nawet zamiast zmiany długości kroku stosuje
się zmiany rzędu metody wielokrokowej P-K dla sterowania dokładnościa˛
obliczeń.
Zmiany rzedu ˛ sa˛
szczególnie wygodne przy stosowaniu metody P-K Adamsa w postaci
różnicowej. Zwiększanie rzędu powinno prowadzić dozmniejszania błędu, a więc
zwiększania dokładności obliczeń. Należy jednak zaznaczyć, że przynajmniej teoretycznie
zwiększenie rzędu nie zawsze musi spowodować zmniejszenieoszacowania
błędu. W ogólnym wzorze na oszacowanie błędu występuje iloczyn stałej błędu i
różnicy wstecznej, c ∗ p+1 ·5 p+1 y n , gdzie różnica wsteczna jest oszacowaniem iloczynu
h p+1 · y (p+1) (x n ). Teoretycznie istnieja˛
funkcje, np. exp(βx), β > 1, dla których
wartość pochodnej wzrasta wraz z jej rzędem. Jeśli ten wzrost jest szybszy niż malenie,
wraz ze wzrostem rzędu p, czynnika c ∗ p+1h p+1 , to możliwa jest sytuacja wzrostu
błędu wraz ze wzrostem p (a więc i malenia błędu z maleniem p, symetrycznie).