Równania różniczkowe zwyczajne

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 27
można zastosować wzór (6.42), który w języku parametrów wersji różnicowych przyjmuje
postać
δ n (h n−1 )=
γ∗ k
(y
γ k − γ ∗ n [0] − y n ). (6.43)
k
Podanawyżej ˛ podstawowapostaćróżnicow ˛
a˛
metody P-K Adamsa P k EC k−1 Emożna
przekształcić do prostszej postaci równoważnej. Mianowicie, uwzględniajac ˛ zależność
γ ∗ j = γ j − γ j−1 ,
zob. tabela 9 czy też dowódw[6],możemy napisać
Xk−1
y n = y n−1 + h γ ∗ j ·5 j f n
[0]
j=0
= y n−1 + hγ 0 f [0]
n
= y n−1 + hγ 0 f [0]
n
Xk−1
+ h (γ j − γ j−1 )∇ j f n
[0]
j=1
Xk−1
+ h
j=1
γ j ∇ j f [0]
n
Xk−1
− h
j=1
Odpowiednio zmieniajac ˛ granice sumowania mamy dalej
y n = y n−1 + hγ 0 f [0]
n
k−1
+ h X
j=1
= y n−1 + hγ k−1 ∇ k−1 f [0]
n
γ j ∇ j f [0]
n
k−2
− h X
γ j−1 (∇ j−1 f [0]
n −∇ j−1 f n−1 )
j=0
γ j (∇ j f [0]
n −∇j f n−1 )
k−1
+ h X
γ j ∇ j f n−1 − hγ k−1 ∇ k−1 f n−1
j=0
= y [0]
n + hγ k−1 (∇ k−1 f [0]
n −∇ k−1 f n−1 )
i finalnie
y n = y n [0] + hγ k−1 ∇ k f n [0] , (6.44)
czyli różnicowa postać równoważna algorytmu P k EC k−1 E:
P: y [0]
n
= y n−1 + h k−1 P
j=0
γ j 5 j f n−1 ,
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C: y n = y n [0] + hγ k−1 ∇ k f n [0] ,
E: f n = f (x n ,y n ) ,
oraz wzór na szacowanie błędu aproksymacji (6.43) można przekształcić dopostaci
δ n (h n−1 ) =
−γ ∗ k
γ k − γ ∗ k
hγ k−1 ∇ k f [0]
n
= γ k − γ k−1
hγ
−γ k−1 ∇ k f n
[0]
k−1
= −h(γ k − γ k−1 )∇ k f [0]
n ,