Równania różniczkowe zwyczajne

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 29
gdzie
∙
α =
ε
|δ n (h n−1 )|
¸ 1
p+1
, (6.49)
|δ n (h n−1 ) | - oszacowanie części głównej błędu aproksymacji (w iteracji z punktu
x n−1 z krokiem h n−1 ),
s -współczynnik bezpieczeństwa,
ε -dokładność,
ε = |y n |·ε w + ε b . (6.50)
W metodach wielokrokowych opartych na równoodległych punktach (a takie omawiamy),
tzn. x n−j = x n − jh, trudniej jest dokonywać zmianydł ugości kroku niż w
metodach jednokrokowych. Dla wykonania kroku z nowadługości ˛ a˛
h n = sαh n−1
trzeba znać bowiemwartości y i f (x, y) w punktach x = x n − j (sαh n−1 ), j =1, ..., k.
• Zwiekszanie ˛ kroku (sα > 1): jeśli sα jest całkowite, to trzeba wykorzystać k
wartości y n−j i f n−j odległychodsiebieosαh n−1 anieoh n−1 -tj. trzeba
odczytać tewartości spośród znacznie wcześniej obliczonych. Jeśli sα nie jest
całkowite, to potrzebne poprzednie wartości w ogólności nie były wyznaczone
- trzeba je wyznaczyć dokonuj˛ ac interpolacji funkcji rozwiazania ˛ na przedziale
obejmujacym ˛ potrzebne punkty i następnie obliczajac ˛ wartości funkcji f odpowiadajace
˛ tym punktom. Prostaisensown˛
˛ a, choć nieco konserwatywn areguł ˛ aktóra ˛
unika interpolacji jest zasada zdwajania kroku:
jeśli sα ≥ 2 to h n =2h n−1 , (6.51)
jeśli 1 ≤ sα < 2 to h n = h n−1 . (6.52)
• Zmniejszanie długości kroku (sα < 1): wartości y n−j i f n−j = f(x n−j ,y n−j )
potrzebne do wykonania iteracji ze zmniejszonym krokiem trzeba wyznaczyć w
drodze interpolacji rozwiazania ˛ y wpamiętanych punktach, i następnie obliczajac
˛ wartości funkcji f. Dla metod Adamsa potrzebne sa˛
jedynie poprzednie
wartościfunkcjiprawychstronf(x n−j ,y n−j ), stad ˛ efektywniej jest interpolować
od razu te wartości. Mozna tu zastosować wielomian interpolacyjny Newtona
na interpolację wsteczdlarownoodległych argumentów, dla interpolacji opartej
na l węzł ach x n−1 ,x n−2 , ..., x n−l wzór ten ma postać
W l−1 (x) =f n−1 + 5f n−1
h
(x − x n−1 )+ 52 f n−1
2h 2 (x − x n−1 )(x − x n−2 )+···
···+ 5l−1 f n−1
(l − 1)!h l−1 (x − x n−1) ···(x − x n−l+1 ) ,