Równania różniczkowe zwyczajne

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 5
Jeśli spełnione sazałożenia ˛ twierdzenia o jednoznaczności rozwiazań ˛ orazΦ f (x, ·; h)
spełnia warunek Lipschitza, to warunek powyższy jest koniecznym i dostatecznym
zbieżności metody jednokrokowej.
Bład ˛ aproksymacji (lokalny) - bład ˛ powstały wjednymkroku(tj.przyzałożeniu,
że y (x n )=y n ), wyraża się wzorem:
r n (h) df = y (x n + h) − [y (x n )+hΦ f (x n ,y n ; h)] , (6.9)
gdzie y (x n + h) jest rozwiazaniem, ˛ dla x = x n + h, ukł adu
y 0 (x) = f (x, y (x)) ,
y (x n ) = y n , x ∈ [x n ,b] .
Zakładajac ˛ odpowiedniagładkość ˛ funkcji r n (h) irozwijaj˛ ac ja˛
w szereg Taylora otrzymujemy:
r n (h) =r n (0) + rn 0 (0) h + 1 2 r(2) n (0) h 2 + ...
Mówimy, że metoda jest rzedu ˛ p, jeśli zachodzarówności:
˛
r n (0) = 0, r 0 n
(0) = 0, . . ., r(p) n
(0) = 0, r(p+1) n (0) 6= 0. (6.10)
Wtedy
r n (h) = r(p+1) n (0)
(p +1)! hp+1 + O ¡ h p+2¢ , (6.11)
gdzie pierwszy składnik to tzw. cześć ˛ główna bł edu ˛ aproksymacji, zaśdrugijest
funkcjarzędu ˛ nie niższego niż h p+2 (tzn. iloraz O(hp+2 )
jest ograniczony w otoczeniu
h p+2
zera).
Przykład.
Dla metody Eulera
r n (h) =y (x n + h) − y n − hf (x n ,y n ) .
Rozwijajac ˛ y (x n + h) w szereg Taylora otrzymujemy:
y (x n + h) =y (x n )+y 0 (x n ) h + 1 2 y00 (x n ) h 2 + ...
Zzałożenia y n = y (x n ) , y 0 (x n )=f (x n ,y n ) , stad
˛
y (x n + h) = y n + hf (x n ,y n )
| {z } +y00 (x n ) h 2 + ...
y n+1
Stad ˛ bezpośrednio
r n (h) =yn 00 (x n) h 2 + O ¡ h 3¢ ,
zatem metoda Eulera jest rzędu pierwszego.