RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

More documents

Recommendations

Info

18 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Tabela 6. Rzędy i stałe błędumetodjawnychAdamsa k 1 2 3 4 5 6 7 p 1 2 3 4 5 6 7 c p+1 − 1 2 − 5 12 − 3 8 − 251 720 − 95 288 − 19087 60480 − 36799 120960 Tabela 7. Rzędy i stałe błędu metod niejawnych Adamsa k 1 ∗ 1 2 3 4 5 6 7 p 2 3 4 5 6 7 8 c ∗ p+1 1 2 1 12 1 24 19 720 3 360 863 60480 275 24192 339533 3628800 6.2.3 Stabilność izbieżność Metoda wielokrokowa jest stabilna, jeśli stabilne jest jej równanie różnicowe dla h =0, kX −y n + α j y n−j =0. (6.30) j=1 Wielomian charakterystyczny tego równania to: ρ (z) =−z k + α 1 z k−1 + ... + α k−1 z + α k . (6.31) Twierdzenie. Metoda k-krokowa jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy jest stabilna i jest co najmniej rzedu ˛ pierwszego (tzn, zachodzi c 0 = c 1 =0- tzw. warunek aproksymacji, zgodności). Dla metody zbieżnej jedynka jest zawsze pierwiastkiem wielomianu ρ (z), ponieważ: ρ (1) = −1+ nX α i = c 0 =0 i=1 Zdefiniujmy ponadto wielomian zwiazany ˛ ze współczynnikami β j metody, σ (z) =β 0 z k + ... + β k−1 z + β k . (6.32)
P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 19 Wykazano, zob. [6], że dla danego wielomianu ρ (z) metody k-krokowej można skonstruować takiwielomianσ (z) stopnia m ( m ≤ k), że metoda jest rzedu p>m. Praktycznie użyteczny maksymalny rzad ˛ stabilnej metody k-krokowej niejawnej wynosi k+1. Dla k parzystych możliwy jest maksymalny rzadrównyk+2,alewtedyitylko ˛ wtedy gdy wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego leżanakolejed- nostkowym, co prowadzi do złych cech tzw. absolutnej stabilności metody (definicja ˛ dalej), rodzaju stabilności najważniejszej z praktycznego punktu widzenia . Stad ˛ Przykład. Rozważmy ogólnie metodę jawn˛ adwukrokow˛ a, zakładajac ˛ jej rzad ˛ p =2.Mamy y n = α 1 y n−1 + α 2 y n−2 + hβ 1 f (x n−1 ,y n−1 )+hβ 2 f (x n−2 ,y n−2 ) . ρ(z) = −z 2 + α 1 z + α 2 , σ(z) = β 1 z + β 2 . Warunki rzędu drugiego (zawierajace ˛ warunki zgodności) to c 0 = 0 ⇒ −1+α 1 + α 2 =0, c 1 = 0 ⇒ −α 1 − 2α 2 + β 1 + β 2 =0, c 2 = 0 ⇒ 1 2 (α 1 +4α 2 ) − β 1 − 4β 2 =0. Sa˛ to trzy równania z czterema niewiadomymi. Traktujac ˛ β 2 jako parametr mamy trzy równania z trzema niewiadomymi, po rozwiazaniu ˛ otrzymujemy Stad ˛ dostajemy α 1 = −2β 2 , α 2 =1+2β 2 , β 1 = β 2 +2. ρ(z) =−z 2 + −2β 2 z +1+2β 2 . Wiadomo, że z 1 =1powinno być pierwiastkiem równania ρ(z) =0,st˛ ad ρ(z) =−(z − 1)(z − z 2 ), skad ˛ wyliczamy z 2 = −(1 − 2β 2 ). Warunki stabilności wymagaja, ˛ aby −1 ≤ z 2 < 1, co implikuje − 1
Page 1 and 2: Rozdział 6 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Page 3 and 4: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 17: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 37: Bibliografia [1] B. Baron: Metody n

RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?