Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 11<br />
Tabela 3. Parametryparymetodwłożonych 4 i 5 rzędu (RKF45)<br />
c i a ij w ∗ i w i<br />
0<br />
25<br />
216<br />
16<br />
135<br />
1<br />
4<br />
1<br />
0 0<br />
4<br />
3<br />
8<br />
3<br />
32<br />
9<br />
32<br />
1408<br />
2565<br />
6656<br />
12825<br />
12<br />
13<br />
1932<br />
− 7200<br />
2197 2197<br />
7296<br />
2197<br />
2197<br />
4104<br />
28561<br />
56430<br />
1<br />
439<br />
216<br />
−8<br />
3680<br />
513<br />
− 845<br />
4104<br />
− 1 5<br />
− 9 50<br />
1<br />
− 8 2 − 3544<br />
2 27 2565<br />
1859<br />
− 11<br />
4104 40<br />
2<br />
55<br />
Wykonanie jednego kroku obliczeń zapomoc˛ a metody RKF45 wymaga, ł acznie ˛ z<br />
szacowaniem błędu, sześciu obliczeń funkcji prawej strony układu równań. Dla porównania:<br />
wykonanie jednego kroku obliczeńzapomoc˛ a metody RK4 wraz z szacowaniem<br />
błędu według zasady Rungego, realizowanej zgodnie z wzorem (6.13), wymaga 11-tu<br />
(4+3+4) obliczeń wartości funkcji prawej strony - ale jest to w istocie metoda liczaca<br />
˛<br />
z krokiem h/2. Tak więc w przypadku kroków udanych, spełniajacych ˛ test dokładności<br />
(sα ≥ 1)nakład obliczeńnaiterację jest porównywalny, natomiast w przypadku<br />
kroków nieudanych metody RKF sa˛<br />
znacznie efektywniejsze niż RK..<br />
6.1.3 Wyznaczanie zmienionej długości kroku<br />
Mamy ogólny wzór na część głównabłędu ˛ dla kroku h:<br />
δ n (h) =h p+1 · γ, (6.18)<br />
gdzie γ jest odpowiednim współczynnikiem w rozwinięciu bł ędu aproksymacji w<br />
szereg Taylora. Gdy zmieniamy krok na αh, to<br />
δ n (αh) =(αh) p+1 · γ,<br />
stad<br />
˛<br />
Zakładajac ˛ dokładność ε:<br />
δ n (αh) =α p+1 · δ n (h) . (6.19)
Change language