Równania różniczkowe zwyczajne

8 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Szacowanie wartości błędu według zasady zdwajania kroku
Dla jednego kroku o długości h wykonujemy dodatkowo, równolegle (tzn. startujac
˛ też z punktu x n )dwadodatkowekrokiodługości h , w celu oszacowania błędu.
2
Wprowadźmy oznaczenia:
• y (1)
n - nowy punkt uzyskany w kroku o długości h,
• y (2)
n - nowy punkt wyznaczony przez dwa kroki o długościach h 2 .
Zakładajac ˛ identyczny bład ˛ aproksymacji w każdym z dwóch kroków pomocniczych
(świadome przybliżenie) mamy
p+1
y (x n + h) '
µ h
y n (2) +O ¡ h p+2¢
2
| {z }
po kroku podwójnym
część główna błędu
y (x n + h) = y (1)
n + γ · h p+1
| {z } +O ¡ h p+2¢ po kroku pojedynczym
część główna błędu
Rugujac ˛ nieznany współczynnik γ = r(p+1)
n (0)
(p+1)!
otrzymamy:
Stad ˛ bezpośrednio
y (x n + h) = y (2)
n
y (x n + h)(1− 1 2 p ) = y(2) n
= y (2)
n
y (x n + h) − y n
(1)
+ O ¡ h p+2¢
2 p h p+1
+ hp+1
− y(1) n
2 + O ¡ h p+2¢
p
(1 − 1
2 p )+y(2)
n
2 − y(1) n
p 2 + O ¡ h p+2¢
p
lub równoważnie
y (x n + h) =y (1)
n
y (x n + h) =y (2)
n
+2 p y(2) n − y n
(1)
2 p − 1
+ y(2) n − y n
(1)
2 p − 1
+ O ¡ h p+2¢ , (6.12)
+ O ¡ h p+2¢ . (6.13)
Z (6.12) wynika oszacowanie błędu δ n (h) ≈ y n (2) − y n
(1) pojedynczego kroku o długości
h (za oszacowanie błędu przyjmuje się oszacowanie jego części głównej). Natomiast,
występujacy ˛ w (6.13) składnik części głównej błędu
µ
δ n 2 × h
= y(2) n − y n
(1)
2 2 p − 1
Ã
y n (2) − y n
(1)
= p=4
15
!
(6.14)