Równania różniczkowe zwyczajne

28 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
czyli ostatecznie
δ n (h n−1 )=−hγ ∗ k ∇k f n [0] , (6.45)
gdzie ∇ k f n
[0] jest różnica˛
wstecznaokreślon ˛ anapodstawiewartości ˛
f n [0] ,f n−1 , ..., f n−k .
Zwróćmy uwagę, że różnicę tęmożna obliczyć bezpośredniopoobliczeniuwartości
predyktora - nie dokonuj ac ˛ iteracji korektora jeśli uzyskana dokładnośćjestzbytmała.
Jednak oszczędność tajestwistocieniewielka,gdyżmaj˛ ac obliczone y n [0] oraz ∇ k f n
[0]
wykonanie iteracji korektora wg wzoru (6.44) jest proste. Natomiast wzór (6.45)
pozwala na dalsze jego przekształcenie do interesujacej ˛ postaci. Mianowicie, wypisujac
˛ postać różnicowaakgorytmuP-KAdamsaP ˛
k EC k Emamy:
P: y [0]
n
= y n−1 + h k−1 P
j=0
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C:
P
y n = y n−1 + h k
E: f n = f (x n ,y n ) ,
Stad ˛ oznaczajac
˛
j=0
γ j 5 j f n−1 ,
γ ∗ j∇ j f [0]
n ,
• y (+1)
n
- rezultat kroku algorytmem P k EC k EAdamsa,
• y n - rezultat kroku algorytmem P k EC k-1 EAdamsa,
mamy:
y n (+1) − y n = hγ ∗ k ∇k f n [0] , (6.46)
tzn. wzór (6.45) można przedstawić wpostaci
δ n (h n−1 )=y n − y (+1)
n . (6.47)
Stosowanie oszacowania błędu słusznego dla algorytmu P k EC k-1 E do algorytmu
P k EC k E, tj. dokł adniejszego, jedynie zwiększa wiarygodność oszacowania błędu.
Stad ˛ stosujac ˛ algorytm P k EC k E z oszacowaniem błędu dla P k EC k-1 Emożemy bardzo
efektywnie (bez dodatkowego nakładu obliczeń) wyznaczać to oszacowanie z wzoru
(6.47), gdyż przystosowaniuwersjiróżnicowych liczac ˛ wartości rozwiazania ˛ korektorem
k-krokowym niejako ”po drodze” liczymy wartości korektorem (k-1)-krokowym.
6.2.7 Zmienny krok i rzad ˛ całkowania
Konstruujac ˛ algorytm wielokrokowy ze zmiennadługości ˛ akroku,proponowan˛
˛
adługość
nowego kroku wyznaczamy identycznie jak w metodach jednokrokowych RK
(zob.rozdz.5.1.1):
h n = s · α · h n−1 , (6.48)