Równania różniczkowe zwyczajne

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 9
można potraktować jako oszacowanie błędu dwóch kolejnych kroków o długości h/2,
i oszacowanie to jest 2 p razy mniejsze niż δ n (h). Stad, ˛ przyjmowanie y n+1 = y n
(1) z
oszacowaniem błędu δ n (h) ≈ y n (2) − y n
(1) , jakkolwiek poprawne, prowadzi do niewykorzystania
dokł adniejszego wyniku uzyskanego w dwóch mniejszych krokach. Praktyczniejsze
jest przyjmowanie y n+1 = y n
(2)
¡
z oszacowaniem błędu δ n 2 ×
h
2¢
(6.14) - i,
być może, z nieco ostrożniejszym współ czynnikiem bezpieczeństwa, zob. punkt 6.1.3.
6.1.2 Metody Rungego-Kutty-Fehlberga (RKF)
Załóżmy, że rozważamy dwie metody RK, m-etapowarzędu ˛ p i m+1-etapowarzędu
˛
p+1.
-MetodaRKrzędu p:
y n+1 = y n + h · mP wi ∗ k i
i=1
k 1 = f (x n ,y n )
k i = f(x n + c i h, y n + h · i−1 P
a ij k j ),
-MetodaRKrzędu p+1:
j=1
i =2, 3, ..., m
(6.15)
y n+1 = y n + h · m+1 P
i=1
w i k i
k 1 = f (x n ,y n )
k i = f(x n + c i h, y n + h · i−1 P
a ij k j ), i =2, 3, ..., m +1
j=1
(6.16)
Wobumetodachwspółczynniki wi
∗ i w i saróżne, ˛ ale współczynniki c i i a ij sa˛
równe dla j =1, ..., i − 1, i=2, ..., m ,tznwspółczynniki k i sarównedlai ˛
=1, ..., m.
Jeśli wykonamy obliczenia obydwiema metodami, to
-dlarzędu p:
-dlarzędu p+1:
y (x n + h) = y n + h ·
mX
wi ∗ k i (h)+h p+1 γ (0) + O ¡ h p+2¢
i=1
| {z } | {z }
y (0)
n+1 część główna błędu
m+1
X
y (x n + h) = y n + h · w i k i (h)+h p+2 γ (1) + O ¡ h p+3¢
i=1
| {z } | {z }
y (1)
n+1 O ¡ h p+2¢