Równania różniczkowe zwyczajne

32 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Metody ze stałym krokiem stosuje się w programach symulacyjnych, dla przykładu
program SIMULINK w wersji 2 wykorzystuje właśnie metody ze stałym krokiem i zmiennym
rzędem.Efektywne, profesjonalne implementacje metod Adamsa wykorzystuja˛
dość złożone algorytmicznie wersje z nierównoodległymi punktami, z bieżacymi ˛ zmianami
zarówno długości kroku jak i rzędu metody. Metody te sa˛
samostartujace,
˛
zmiana długości kroku i rzędu jest w nich z kroku na krok łatwa. Satojednez
˛
najlepszych aktualnie znanych algorytmów.
6.3 RÓWNANIA ŹLE UWARUNKOWANE
Rozważmy przykład:
y 0 (x)= Ay(x),
∙ ¸ ∙ ¸
−667 333
0
A =
y 0 = x ∈ [0, 10] .
666 −334
3
Jak łatwo wyliczyć
Sp (A) ={λ 1 ,λ 2 } = {−1, −1000} ,
zaś rozwi˛ azanie:
y 1 (x) = e −x − e −1000x ,
y 2 (x) = 2e −x + e −1000x .
Rozwiazanie ˛ jest szybko zmienne w krótkiej poczatkowej ˛ fazie (dominuje e −1000x ),
anastępnie bardzo wolno zmienne. Efektywna procedura powinna całkować pierwszy
odcinek z krokiem 1000 razy mniejszym (stosunek wartości własnych). Np. dla
metody P 3 EC 3 E z warunku absolutnej stabilności mamy (odcinek absolutnej stabilności
wynosi [−2, 0]):
|λ 1 h| < 2 ⇒ h< 2
|λ 1 | =2,
|λ 2 h| < 2 ⇒ h< 2
|λ 2 | =2· 10−3 .
Procedura całkuje najpierw z krokiem mniejszym od 2 · 10 −3 , którego nie można
zwiększyć, gdyż wychodzi się poza obszar absolutnej stabilności - mimo że należałoby
całkować dalej z krokiem 1000 razy większym. Algorytm usiłuje zwiększać krok (tak
mu podpowiada szacowanie błędów), ale stajac ˛ się niestabilnym generuje zwiazan ˛ az ˛
tym lawinę błędów - i musi skracać krokaż wejdzie w obszar absolutnej stabilności.
Dla liniowego układu równań y 0 = Ay mówimy, że jest on żle uwarunkowany
(”sztywny”, ang.stiff), jeśli iloraz modułów wartości własnych macierzy A, największegodonajmniejszego,jestduży
(znacznie większy od jedności). W przypadku
nieliniowego układu równań bierzemypoduwagę macierz jego przybliżenia liniowego
(macierz jakobianowa)..
˛