Równania różniczkowe zwyczajne

34 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
6.3.1 Metody BDF (wstecznego różniczkowania)
Metody BDF (Backward Differentiation Formulas, zob. [6]) jawne:
y n =
kX
α j y n−j + h · β 1 f (x n−1 ,y n−1 ) (6.53)
j=1
Metody BDF niejawne:
y n =
kX
α ∗ j y n−j + h · β ∗ 0f (x n ,y n ) (6.54)
j=1
Parametry metod BDF podano w tabelach 9 i 10.Ponieważ nieskończony obszar absolutnej
stabilności posiadaja˛
jedynie metody niejawne, to stosuje się jedynie strukturę
predyktor - korektor. Wykonujemy przy tym nie jednaiterację ˛ korektora, ale tyle
ile potrzeba aż do uzyskania zbieżności wg określonego kryterium stopu (rozwiazy-
wanie równania nieliniowego metodaiteracjiprostej,możliwe ˛
i polecane jest też zas-
˛
tosowanie efektywniejszego algorytmu Newtona).
Kształt obszarów absolutnej stabilności dla metod BDF niejawnych pokazano na
rysunku 6.6. Znane sa również metody niejawne typu Runge-Kutty, o nieskończonych
obszarach absolutnej stabilnosci.
Tabela 9. Parametry metod jawnych BDF
c p+1 p k β 1 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5
− 1 2
1 1 1 1
− 1 3
2 2 2 0 1
− 1 4
3 3 3 − 3 2
3 − 1 2
− 1 4 4 4 − 10
1
6 −2
5 3 3
− 1 6
5 5 5 − 65
12
10 −5
5
3
− 1 4
− 1 7
6 6 6 − 77
10
15 −10 5 − 3 2
1
5