RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

More documents

Recommendations

Info

16 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Tabela 5. Parametry metod Adamsa-Moultona (niejawnych) k β ∗ 0 β ∗ 1 β ∗ 2 β ∗ 3 β ∗ 4 1 ∗ 1 1 1 2 1 2 -wsteczna met.Eulera 2 5 12 8 12 − 1 12 3 9 24 19 24 − 5 24 1 24 4 251 720 646 - 264 720 720 106 720 − 19 720 5 475 1440 1427 1440 − 798 1440 482 1440 − 173 1440 27 1440 6 19087 60480 65112 − 46461 60480 60480 37504 − 20211 60480 60480 6312 60480 − 863 60480 7 36799 120960 139849 − 121797 120960 120960 123133 120960 − 88547 120960 41499 120960 − 11351 120960 1375 120960 Metody niejawne (Adamsa - Moultona) Funkcję podcałkowaprzybliżamy ˛ wielomianem interpolacyjnym W ∗ (x) stopnia co najwyżej k opartym na węzł ach x n ,x n−1 , ..., x n−k .Następnie postępujac ˛ analogicznie jak w przypadku poprzednim metod Adamsa-Bashfortha otrzymamy: kX y n = y n−1 + h β ∗ j · f (x n−j,y n−j )= j=0 = y n−1 + h · β ∗ 0 · f (x n,y n )+h kX β ∗ j · f (x n−j,y n−j ) Wartości parametrów β ∗ j dla kilku wartościkpodanowtabeli5. j=1 6.2.2 Bład ˛ aproksymacji Błedem ˛ aproksymacji odpowiadajacym ˛ punktowi x n nazywamy różnicę: r n (h) df =[ kX α j y (x n−j )+h j=1 kX β j f (x n−j ,y(x n−j ))] − y (x n ) , (6.25) j=0
P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 17 tzn. bład ˛ aproksymacji r n (h) informuje o tym, jaki bład ˛ wnosi metoda w kroku x n ,a więc przy założeniu y n−j = y(x n−j ),j=1,...,k. Łacz ˛ ac ˛ równanie metody i równanie błędu dostajemy: y n − y(x n )=hβ 0 [f(x n ,y n ) − f(x n ,y(x n ))] + r n (h) . Stosujac ˛ twierdzenie o wartości średniej dostajemy dalej r n (h) =(1− hβ 0 ∂f ∂y (x n,ζ n ))(y n − y(x n )), (6.26) gdzie ζ n (y n, y(x n )). Tak więc dla metody jawnej bład ˛ aproksymacji jest równy różnicy y n − y(x n ),adlametodyniejawnej jest proporcjonalny do tej różnicy, przy czym współczynnik proporcjonalności jest tym bliższy 1 im mniejsza wartośc kroku h. Przyjmujac ˛ x n−j = x n − jh (stały krok), j =0, 1,...,k mamy r n (h) = kX α j y (x n − jh)+h j=0 gdzie α 0 = −1. kX β j y 0 (x n − jh) , Rozwijajac ˛ y (x n − jh) i y 0 (x n − jh) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x n (jeśli tylko y (x) jest p+1 razy różniczkowalna, p ≥ 1), dostajemy gdzie c 0 = p+1 X r n (h) =c 0 y (x n )+ h m c m y (m) (x n )+O ¡ h p+2¢ , (6.27) kX α j = −1+ j=0 c 1 = − c m = 1 m! kX jα j + j=1 j=1 kX j=0 kX j=1 β j m=1 α j kX (−j) m 1 α j + (m − 1)! j=0 kX (−j) (m−1) β j , m ≥ 2. (6.28) Metoda wielokrokowa jest rzedu ˛ p jeśli c 0 , ..., c p =0, c p+1 6=0.Dlametodyrzędu p bład ˛ aproksymacji wyraża się wzorem j=1 r n (h) =c p+1 h p+1 y (p+1) (x n )+O(h p+2 ), (6.29) gdzie wartość c p+1 to stałabł ˛ edu,zaś ˛ c p+1 h p+1 y (p+1) (x n ) to cześćgłówna ˛ błędu sproksymacji. Wartości stałych błędu metod Adamsa-Bashfortha podano w tabeli 6, a Adamsa-Moultona w tabeli 7.
Page 1 and 2: Rozdział 6 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Page 3 and 4: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 15: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 37: Bibliografia [1] B. Baron: Metody n

RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?