Równania różniczkowe zwyczajne

10 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Odejmujac ˛ stronami i pomijajac ˛ ”ogon” składajacy ˛ sie z wyrażeń O (h p+2 ) otrzymujemy
oszacowanie błędu (błędu metody rzędu p, niższego):
δ n (h) = h p+1 γ (0)
mX
= h · (w i − wi ∗ ) · k i (h)+hw m+1 k m+1 (h) (6.17)
i=1
Omówiona para metod RK to tzw. para metod włożonych Fehlberga, zwanych
metodami RKF (Rungego-Kutty-Fehlberga). Zwięzły zapiswspółczynników metody
m-etapowej:
0
c 2
c 3
.
c m
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
a 21
a 31 a 32
. .
a m1 a m2 ··· a
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
m,m−1
Dla pary metod włożonych, m i m+1 etapowej, mamy jednatabelkę:
˛
0
w1
c 2 a 21
. .
c m a m1 a m,m−1
c
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
m+1 a m+1,1 ··· a m+1,m−1 a
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
∗ w 1
w2
∗ w 2
.
.
wm
∗ w m
¯
m+1,m
w ∗ 1
w ∗ 2
w ∗ 3
.
w ∗ m
w m+1
Parametry par metod włożonych1i2rzędu,RKF12,2i3rzędu RKF23 oraz 4 i 5
rzędu, RKF45, podano w tabelach 1, 2 i 3.
Tabela 1. Parametryparymetodwłożonych 1 i 2 rzędu (RKF12):
c i a ij w ∗ i w i
0
1
256
1
512
1
2
1
2
255
256
255
256
1
1
256
Tabela 2. Parametryparymetodwłożonych 2 i 3 rzędu (RKF23)
255
256
1
512
c i a ij w ∗ i w i
0
214
891
533
2106
1
4
1
4
1
0
33
27
− 189
40 800
729
800
650
891
800
1053
1
214
891
1
33
650
891
− 1
78