Równania różniczkowe zwyczajne

20 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Dla β 2 =0dostajemy metodę o minimalnym module c 3 , |c 3 | = 1 , (tzw. metoda
3
dwukrokowa Nystroema) - wówczas z 2 = −1.
Dla β 2 = − 1 2 dostajemy c 3 = − 5 12 i z 2 =0,jesttodwukrokowametodaAdamsa-
Bashfortha.
Decydujaca ˛ dla praktyki jest stabilność równania różnicowego metody dla skończonych
wartości kroku całkowania h. Przyh 6= 0zachowanie sięci˛ agów generowanych
przez metodęzależy jednakże równieżodcechrozwi˛ azywanego problemu, tzn. postaci
funkcji f(x, y). Stabilność dla kroków niezerowych definiuje się dla asymptotycznie
stabilnego zadania liniowego, dla układu nieliniowego odpowiada to rozważaniu jego
przybliżenia liniowego .
Rozważmy jednowymiarowe zadanie liniowe
y 0 (x) = λ · y(x),
y(0) = 1, x ∈ [0,b] ,bÀ 0, (6.33)
gdzie λ ∈ C, zaśzzałożenia asymptotycznej stabilności wynika Re λ < 0, czyli
rozwiazanie ˛ problemu zbiega do zera wraz ze zmianami x od zera 0 do b. Stosuj˛ ac do
tego zadania metodę wielokrokowa ˛ uzyskujemy następujace ˛ rownanie różnicowe
y n =
kX
kX
α j y n−j + h · β j λy n−j ,
j=1
j=0
które zapiszemy w postaci
kX ¡ ¢
αj + hλβ j yn−j =0, gdzie α 0 = −1. (6.34)
j=0
Metoda wielokrokowa z krokiem h>0 jest absolutnie stabilna dla problemu (6.33)
jeśli ciag ˛ uzyskiwanych punktów rozwiazania ˛ numerycznego y 0 =1,y 1 ,y 2, ..., y n ,y n+1 , ...
zbiega do zera przy n →∞,tzn. jeśli równanie różnicowe (6.34) jest asymtotycznie
stabilne (opisuje asymptotycznie stabilny dyskretny system dynamiczny). Przypomnijmy,
że równanie (6.34) jest asymptotycznie stabilne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie
pierwiastki jego równania charakterystycznego
leżawewn˛
˛ atrz koła jednostkowego.
eρ (z; hλ) =ρ (z)+hλσ (z) (6.35)
Definicja. Zbiór wartości hλ dla którego pierwiastki wielomianu (6.35) sapołożone
˛
wewnatrz ˛ koła jednostkowego nazywamy obszarem absolutnej stabilności metody wielokrokowej
zdefiniowanej wielomianami ρ (z) i σ (z) , metodę nazywamy absolutnie stabilna˛
w tym obszarze.