Równania różniczkowe zwyczajne

2 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
to dla każdych warunków poczatkowych ˛ y a
ciagła, ˛ różniczkowalna i spełniajaca
˛
istnieje dokładnie jedna funkcja y (x),
y 0 (x) =f (x, y) , y (a) =y a , x ∈ [a, b] .
Można ponadto pokazać, że zagadnienie spełniajace ˛ założenia tego twierdzenia jest
dobrze postawione, tzn. jego rozwiazanie ˛ zależy w sposób ciagły ˛ odzmian(odchyleń)
warunków poczatkowych ˛ i zaburzeń funkcjif.
Najpopularniejsze metody numerycznego rozwiazywania ˛ równań różniczkowych
można podzielić na trzy grupy:
- metody jednokrokowe,
- metody wielokrokowe,
- metody ekstrapolacyjne.
W niniejszym opracowaniu zajmiemy się metodami z dwóch pierwszych grup.
Metody numeryczne znajdowania rozwiazań ˛ układu równań różniczkowych to
metody różnicowe, tj. przybliżona wartość rozwi˛ azania obliczana jest w kolejnych,
dyskretnych punktach x n ,
a = x 0 ≤ x 1 ≤ ...≤ x n = b,
gdzie h i = x i+1 − x i - kolejne kroki metody.
Definicja (zbieżnościmetodyróżnicowej)
Mówimy, że metoda jest zbieżna, jeśli dla każdego układu równań maj˛ acego jednoznaczne
rozwiazanie ˛ y (x), przykrokachh daż ˛ acychdozerazachodzi:
˛
lim y (x n; h) → y (x)
h→0
gdzie y (x n ; h) oznacza rozwiazanie ˛ przybliżone uzyskane tametod˛
˛ a.
Przykład. Metoda Eulera:
y n+1 = y n + hf (x n ,y n ) , n =0, 1, ... y 0 = y a . (6.4)
Wykażemy teraz zbieżność tej metody (zakładajac, ˛ że y∈ C 2 na odcinku [a, b]). Mamy
y (x n + h) =y (x n )+y 0 (x n ) h + y 00 (ξ n ) h2
2 , ξ n ∈ [x n ,x n + h] . (6.5)
Bład ˛ metody po n krokach:
df
e n = y (xn ) − y n
Odejmujac ˛ stronami (6.4) i (6.5) oraz korzystajac ˛ z założenia, że funkcja f spełnia
warunek Lipschitza otrzymujemy:
e n+1 = e n + h [f (x n ,y(x n )) − f (x n ,y n )] + T n ,
|e n+1 | ≤ |e n | + hL |e n | + |T n |,