Równania różniczkowe zwyczajne

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 19
Wykazano, zob. [6], że dla danego wielomianu ρ (z) metody k-krokowej można skonstruować
takiwielomianσ (z) stopnia m ( m ≤ k), że metoda jest rzedu p>m. Praktycznie
użyteczny maksymalny rzad ˛ stabilnej metody k-krokowej niejawnej wynosi
k+1. Dla k parzystych możliwy jest maksymalny rzadrównyk+2,alewtedyitylko
˛
wtedy gdy wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego leżanakolejed-
nostkowym, co prowadzi do złych cech tzw. absolutnej stabilności metody (definicja
˛
dalej), rodzaju stabilności najważniejszej z praktycznego punktu widzenia .
Stad
˛
Przykład.
Rozważmy ogólnie metodę jawn˛ adwukrokow˛ a, zakładajac ˛ jej rzad ˛ p =2.Mamy
y n = α 1 y n−1 + α 2 y n−2 + hβ 1 f (x n−1 ,y n−1 )+hβ 2 f (x n−2 ,y n−2 ) .
ρ(z) = −z 2 + α 1 z + α 2 ,
σ(z) = β 1 z + β 2 .
Warunki rzędu drugiego (zawierajace ˛ warunki zgodności) to
c 0 = 0 ⇒ −1+α 1 + α 2 =0,
c 1 = 0 ⇒ −α 1 − 2α 2 + β 1 + β 2 =0,
c 2 = 0 ⇒ 1 2 (α 1 +4α 2 ) − β 1 − 4β 2 =0.
Sa˛
to trzy równania z czterema niewiadomymi. Traktujac ˛ β 2 jako parametr mamy
trzy równania z trzema niewiadomymi, po rozwiazaniu ˛ otrzymujemy
Stad ˛ dostajemy
α 1 = −2β 2 , α 2 =1+2β 2 , β 1 = β 2 +2.
ρ(z) =−z 2 + −2β 2 z +1+2β 2 .
Wiadomo, że z 1 =1powinno być pierwiastkiem równania ρ(z) =0,st˛ ad
ρ(z) =−(z − 1)(z − z 2 ),
skad ˛ wyliczamy z 2 = −(1 − 2β 2 ). Warunki stabilności wymagaja, ˛ aby
−1 ≤ z 2 < 1, co implikuje − 1