Równania różniczkowe zwyczajne

24 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
maksymalnego rzędu (tj. rzędu metody korektora) nastepuje już w algorytmie P-K z
jednaiteracj˛
˛ akorektora.
6.2.5 Oszacowania błędu aproksymacji metod P-K
Zgodnie z twierdzeniem o rzędzie metody P-K, jeśli tylko rzad ˛ predyktora p p jest nie
niższy od rzędu korektora p, torz˛ ad metody P-K jest rzędem korektora p. Przyjmujac
˛ za podstawę oszacowaniabłędu aproksymacji metody P-K część głównabłędu
˛
korektora,
δ n (h) =c ∗ p+1 hp+1 y (p+1) (x n ) , (6.39)
trzeba oszacować pochodn˛ a y (p+1) (x n ) , np.
wsteczna:
˛
czyli oszacowanie błędu
y (p+1) (x n ) ∼ = 5(p+1) y (x n )
, skad
˛
h p+1
h p+1 y (p+1) (x n ) ∼ = 5 (p+1) y (x n ) ∼ = 5 (p+1) y n ,
przybliżajac ˛ ja˛
odpowiedniaróżnic ˛ a˛
|δ n (h) | ∼ = |c ∗ p+1 5p+1 y n |, (6.40)
gdzie c ∗ p+1 to stała błędu korektora. Oszacowanie (6.40) można obliczać wyliczajac
˛
wartość róznicy wstecznej 5 p+1 y n w oparciu o punkty y n ,y n−1 , ..., y n−p−1 . Instnieje
jednak efektywniejszy sposób szacowania błędu aproksymacji w przypadku równych
rzędów predyktora i korektora.
Rozważmy metodeP-Kzrównymrz˛
˛
edem p predyktora i korektora. Zgodnie z
twierdzeniem o rzędzie metody P-K rzad ˛ ten jest też równyp. Oznaczaj˛ ac przez y n
[0]
wynik działania predyktora a przez y n wynik po korekcji algorytmem korektora ( y n
oznacza w ogólności rezultat m iteracji korektora, y n = y n
[m] ,m=1lub m>1)
możemy napisać
y n [0] n) = c p+1 y (p+1) (x n )h p+1 + O(h p+2 ),
y n − y(x n ) = c ∗ p+1 y(p+1) (x n )h p+1 + O(h p+2 ),
Zaniedbujac ˛ człony O(h p+2 ) możemy z powyższych równań wyeliminować pochodna˛
y (p+1) (x n ). Stad
˛
y n − y(x n )= c∗ p+1
(y n [0] − y(x n )).
c p+1
Dodajac ˛ do obu stron − c∗ p+1
c p+1
(y n − y(x n )) uzyskujemy
czyli
c p+1 − c ∗ p+1
c p+1
(y n − y(x n )) = c∗ p+1
c p+1
(y [0]
n − y n )
c ∗ p+1
y n − y(x n )=
(y
c p+1 − c ∗ n [0] − y n ). (6.41)
p+1