RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

More documents

Recommendations

Info

30 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE gdzie h = h n−1 jest aktualnym krokiem całkowania, a różnice wsteczne 5 i f n−1 , i =1, ..., l − 1 liczone sanawartościach ˛ f n−1 ,f n−2 , ..., f n−l , 5f n−1 = f n−1 − f n−2 , 5 2 f n−1 = 5f n−1 − 5f n−2 , 5 3 f n−1 = 5 2 f n−1 − 5 2 f n−2 , itd. Przy 1 całkowitym pewne z poprzednio pamiętanych punktów mog abyćwykorzystane, pozostałe (pośrednie) trzeba wyliczyć z interpolacji. Zamiast in- sα ˛ terpolacji można zastosować algorytm metody RK. Najprostszaidość ˛ sensowna, ˛ ale nieco konserwatywn ametod˛ ˛ apostepowaniajeststrategia poł owienia kroku, tj. zmniejszania kroku 1 razy, gdzie r jest najmniejsza 2 ˛ liczba˛ naturalna˛ r taka, ˛ że 1 ≤ sα. Dla zmniejszenia kroku 2 razy należy obliczyć nowepunkty 2 r położone pośrodku między istniejacymi, ˛ można łatwo wyznaczyć wzorynate punkty. Np. interpolujac ˛ wielomianem 4 stopnia opartym na 5 węzłach interpolacji x n−1 ,x n−2 , ..., x n−5 potrzeba wyinterpolować dwiewartości w punktach x n−1−1/2 ,x n−2−1/2 , odpowiednie wzory sajaknastępuje ˛ f n−1−1/2 = −5f n−5 +28f n−4 − 70f n−3 + 140f n−2 +35f n−1 128 f n−2−1/2 = 3f n−5 − 20f n−4 +90f n−3 +60f n−2 − 5f n−1 128 Ponieważ korektadługości kroku kosztuje, to należy decydować sięnani˛ a z rezerwa, ˛ wprowadzaj ac ˛ zabezpieczenia. Np. blokujace ˛ możliwośćzwiększania kroku jeśli bezpośrednio przedtem nastapiło ˛ jego zmniejszenie, itp., aby uniknać ˛ oscylacyjnych zmian długości kroku. Schemat blokowy przykł adowej realizacji metody P-K ze zdwajaniem/połowieniem kroku przedstawiono na rys. 5.5. Obok, a w pewnych zastosowaniach nawet zamiast zmiany długości kroku stosuje się zmiany rzędu metody wielokrokowej P-K dla sterowania dokładnościa˛ obliczeń. Zmiany rzedu ˛ sa˛ szczególnie wygodne przy stosowaniu metody P-K Adamsa w postaci różnicowej. Zwiększanie rzędu powinno prowadzić dozmniejszania błędu, a więc zwiększania dokładności obliczeń. Należy jednak zaznaczyć, że przynajmniej teoretycznie zwiększenie rzędu nie zawsze musi spowodować zmniejszenieoszacowania błędu. W ogólnym wzorze na oszacowanie błędu występuje iloczyn stałej błędu i różnicy wstecznej, c ∗ p+1 ·5 p+1 y n , gdzie różnica wsteczna jest oszacowaniem iloczynu h p+1 · y (p+1) (x n ). Teoretycznie istnieja˛ funkcje, np. exp(βx), β > 1, dla których wartość pochodnej wzrasta wraz z jej rzędem. Jeśli ten wzrost jest szybszy niż malenie, wraz ze wzrostem rzędu p, czynnika c ∗ p+1h p+1 , to możliwa jest sytuacja wzrostu błędu wraz ze wzrostem p (a więc i malenia błędu z maleniem p, symetrycznie).
P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 31 Punkt startowy: x 0 = a, (x ε [a, b]) Parametry dokładności: ε w , ε b Krok początkowy: h = h 0 W punktach x 0 , x 0 +h, ..., x 0 +(k-1)h wyznacz rozwiązanie procedurą startową, n := k wzrosth := .TRUE. Startując z punktu x n-1 z krokiem h n wyznacz metodą predyktor-korektor: - rozwiązanie y n , - oszacowanie błędu δ n (h n ). Wylicz współczynnik korekty długości kroku α, a następnie proponowaną korektę długości kroku: h * n+1 = sαh n , (s = wsp. bezpieczeństwa) T sα < 1 N wzrosth := .FALSE. N x n +h n =b T N h * n+1
Page 1 and 2: Rozdział 6 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Page 3 and 4: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 29: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 37: Bibliografia [1] B. Baron: Metody n

RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?