Równania różniczkowe zwyczajne

22 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
1. wysokim rzędzie i małej stałej błędu,
2. możliwie dużym obszarze absolutnej stabilności,
3. możliwie małej ilości obliczeń naiterację.
Metody jawne gorzej spełniajawarunki1i2,natomiastmetodyniejawnespełniaj ˛
a˛
warunki1i2,aleniespełniaja˛
warunku 3, gdyż wkażdej iteracji trzeba rozwiazywać
˛
względem y n równanie nieliniowe
−y n +
kX ¡ ¢
α
∗
j y n−j + hβ ∗ jf n−j + hβ
∗
0 f (x n ,y n )=0. (6.37)
j=1
Praktyczne realizacje metod wielokrokowych to algorytmy typu predyktor - korektor
(ang. predictor-corrector, P-K).
Np. dla metody k-krokowej realizacja w postaci struktury predyktor-korektor
P k EC k E (z jednym obliczeniem korektora w każdej iteracji metody) ma postać:
P: y n
[0] P
= k P
α i y n−j + h k β j f n−j
j=1
j=1
³ ´
E: f n
[0] = f x n ,y n
[0]
P
C: y n = k P
α ∗ jy n−j + h k β ∗ jf n−j + hβ ∗ 0f n
[0]
j=1
j=1
(P - prediction)
(E - evaluation)
(C - correction)
E: f n = f (x n ,y n ) (E - evaluation)
Interpretacja: Iteracja predyktora to obliczenie dobrego punktu poczatkowego
˛
(tym lepszego im mniejszy krok h iwyższy rzad ˛ algorytmu predyktora) dla iteracji
algorytmu korektora metoda˛
iteracji prostej. W algorytmie P k EC k Eprzedstawionym
powyżej wykonujemy tylko jednaiterację ˛ algorytmu korektora. Podkreślmy: metoda
P-K to w istocie przybliżony sposób realizacji metody niejawnej (korektora), algorytm
predyktora gra tu rolę pomocnicz˛ a.
Dla metod Adamsa algorytm P k EC k Emapostać:
P: y [0]
n
P
= y n−1 + h k β j f n−j ,
j=1
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C:
P
y n = y n−1 + h k
E: f n = f (x n ,y n ) .
j=1
β ∗ jf n−j + hβ ∗ 0f [0]
n ,
Długości odcinka absolutnej stabilności dla metod Adamsa jawnej, niejawnej i
P k EC k E przedstawiono w tabeli 8.