Równania różniczkowe zwyczajne

P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 15
Metody Adamsa dostajemy rozważajac ˛ to równanie na przedziale [x n−1 ,x n ]:
y (x n )=y (x n−1 )+
Z x n
f (t, y (t)) dt.
x n−1
Metody jawne (Adamsa - Bashfortha)
Funkcję podcałkowaprzybliżamy ˛
wielomianem interpolacyjnym W (x) stopniaconajwyżej
k − 1 opartym na węzłach x n−1 , ..., x n−k ,przyjmuj˛ ac y (x n−j ) ∼ = y n−j .Stosuj˛ ac
wzór interpolacyjny Lagrange’a mamy
f (x, y (x)) ∼ kX
= W (x) = f (x n−j ,y n−j ) · L j (x) ,
j=1
kX
y n = y n−1 + f (x n−j ,y n−j ) ·
j=1
gdzie L j (x) to wielomiany Lagrange’a,
Z x n
x n−1
L j (t) dt
L j (x) =
kY
m=1,m6=j
x − x n−m
x n−j − x n−m
.
Stad ˛ po scałkowaniu, przy założeniu x n−j = x n − jh, j =1, 2, ..., k, otrzymujemy:
y n = y n−1 + h
kX
β j f (x n−j ,y n−j ) ,
gdzie wartości współczynników β dla kilku wartości k podano w tabeli 4.
Tabela 4. Parametry metod Adamsa-Bashfortha (jawnych)
j=1
k β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 β 6 β 7
1 1 - metoda Eulera
2
3
2
− 1 2
23
3 − 16
12 12
55
4 − 59
24 24
1901
5 − 2774
720 720
4277
6 − 7923
1440 1440
5
12
37
24
− 9
24
2616
− 1274
720 720
9982
− 7298
1440 1440
251
720
2877
1440
− 475
1440
7
198721
− 447288
60480 60480
705549
− 688256
60480 60480
407139
− 134472
60480 60480
19087
60480