Równania różniczkowe zwyczajne

6 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
6.1.1 Metody Rungego - Kutty (RK)
Metody te można zdefiniować następujacym ˛ wzorem:
przy czym i−1 P
y n+1 = y n + h ·
j=1
mX
w i k i ,
i=1
gdzie
k 1 = f (x n ,y n ) ,
Ã
!
Xi−1
k i = f x n + c i h, y n + h · a ij k j , i =2, 3, ..., m
a ij = c i , i =2, 3, ..., m.
Dla wykonania jednego kroku metody należy obliczyćwartości prawych stron równań
różniczkowych dokładnie m razy (dlatego będziemy mówić o m-etapowej iteracji
metody, czy krócej o metodzie m-etapowej) Parametry w i , a ij , c i dobiera się tak,
aby przy ustalonym m rzad ˛ metody był możliwie wysoki. Jesli przez p(m) oznaczymy
maksymalny możliwy do uzyskania rzad ˛ metody, to udowodniono, że
j=1
p (m) =m dla m =1, 2, 3, 4
p (m) =m − 1 dla m =5, 6, 7
p (m) ≤ m − 2 dla m ≥ 8
Największe znaczenie praktyczne majametodyzm ˛
=4irzędu 4 - udany kompromis
między dokładnościametody(rz˛
˛
ad metody) a nakładem obliczeń najedn˛ aiteracjęi
zwiazanym ˛ z tym wpł ywem błędów zaokragleń.
˛
Metoda RK 4-tego rzędu (RK4, ”klasyczna”):
y n+1 = y n + 1 6 h (k 1 +2k 2 +2k 3 + k 4 )
k 1 = f (x n ,y n )
k 2 = f(x n + 1 2 h, y n + 1 2 hk 1)
k 3 = f(x n + 1 2 h, y n + 1 2 hk 2)
k 4 = f (x n + h, y n + hk 3 )
Interpretacja graficzna wyznaczania kolejnego punktu wg powyższych wzorów przedstawiona
jest na rysunku ??.
Wybór długości kroku
Podstawowym zagadnieniem przy praktycznej implementacji metod rozwi ˛ azywania
równań różniczkowych zwyczajnych jest kwestia doboru długości kroku całkowania h.
Przy wyznaczaniu długości kroku występuja dwie przeciwstawne tendencje: