RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

More documents

Recommendations

Info

20 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Dla β 2 =0dostajemy metodę o minimalnym module c 3 , |c 3 | = 1 , (tzw. metoda 3 dwukrokowa Nystroema) - wówczas z 2 = −1. Dla β 2 = − 1 2 dostajemy c 3 = − 5 12 i z 2 =0,jesttodwukrokowametodaAdamsa- Bashfortha. Decydujaca ˛ dla praktyki jest stabilność równania różnicowego metody dla skończonych wartości kroku całkowania h. Przyh 6= 0zachowanie sięci˛ agów generowanych przez metodęzależy jednakże równieżodcechrozwi˛ azywanego problemu, tzn. postaci funkcji f(x, y). Stabilność dla kroków niezerowych definiuje się dla asymptotycznie stabilnego zadania liniowego, dla układu nieliniowego odpowiada to rozważaniu jego przybliżenia liniowego . Rozważmy jednowymiarowe zadanie liniowe y 0 (x) = λ · y(x), y(0) = 1, x ∈ [0,b] ,bÀ 0, (6.33) gdzie λ ∈ C, zaśzzałożenia asymptotycznej stabilności wynika Re λ < 0, czyli rozwiazanie ˛ problemu zbiega do zera wraz ze zmianami x od zera 0 do b. Stosuj˛ ac do tego zadania metodę wielokrokowa ˛ uzyskujemy następujace ˛ rownanie różnicowe y n = kX kX α j y n−j + h · β j λy n−j , j=1 j=0 które zapiszemy w postaci kX ¡ ¢ αj + hλβ j yn−j =0, gdzie α 0 = −1. (6.34) j=0 Metoda wielokrokowa z krokiem h>0 jest absolutnie stabilna dla problemu (6.33) jeśli ciag ˛ uzyskiwanych punktów rozwiazania ˛ numerycznego y 0 =1,y 1 ,y 2, ..., y n ,y n+1 , ... zbiega do zera przy n →∞,tzn. jeśli równanie różnicowe (6.34) jest asymtotycznie stabilne (opisuje asymptotycznie stabilny dyskretny system dynamiczny). Przypomnijmy, że równanie (6.34) jest asymptotycznie stabilne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie pierwiastki jego równania charakterystycznego leżawewn˛ ˛ atrz koła jednostkowego. eρ (z; hλ) =ρ (z)+hλσ (z) (6.35) Definicja. Zbiór wartości hλ dla którego pierwiastki wielomianu (6.35) sapołożone ˛ wewnatrz ˛ koła jednostkowego nazywamy obszarem absolutnej stabilności metody wielokrokowej zdefiniowanej wielomianami ρ (z) i σ (z) , metodę nazywamy absolutnie stabilna˛ w tym obszarze.
P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 21 Pierwiastki wielomianu eρ (z; hλ) mogaoczywiście ˛ być zespolone,st˛ ad obszary absolutnej stabilności sapodzbioramipłaszczyzny ˛ zmiennej zespolonej. Ponadto, ponieważ Re (hλ) < 0 (bo Re (λ) < 0 i h>0), to zbiory absolutnej stabilności leża˛ wlewejpółpłaszczyźnie. Można łatwo pokazać, że jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu ρ (z) , poza jednym pojedynczym równym jedności, majamoduły ˛ mniejszeod jedności , to dla dostatecznie małych wartości hλ metoda jest absolutnie stabilna (obszar absolutnej stabilności ma niepuste wnętrze). Charakter kształtu obszarów absolutnej stabilności dla metod Adamsa pokazano na rysunku 6.4. Odcinek [q,0] (zob. rysunek) nazywany jest odcinkiem absolutnej stabilności, wartości lewego krańca q tego odcinka (|q| jest jego długościa) ˛ podane sa˛ wnastępnym podrozdziale w tabeli 8. Przedstawiona definicja absolutnej stabilnościprzenosisię natychmiast na przypadek wielowymiarowy y 0 (x) = Ay (x) , y ∈R m , y (0) = 1, x ∈ [0,b] ,bÀ 0, (6.36) gdzie wszystkie wartości własne λ i macierzy A majaujemneczęści ˛ rzeczywiste, Reλ i < 0, ponieważ układ (6.36) ma mieć asymptotycznie stabilne rozwiazania. ˛ Dla absolutnej stabilności metody wielokrokowej z krokiem h zastosowanej do problemu (6.36) warunkiem koniecznym i dostatecznym jest aby dla każdej wartości własnej λ i , iloczyn hλ i należał do obszaru absolutnej stabilności metody. Rysunek 6.4: Kształt obszarów absolutnej stabilności metod Adamsa 6.2.4 Metody predyktor-korektor Najpraktyczniejszametod˛ ˛ a wielokrokowabyłaby ˛ metoda o:
Page 1 and 2: Rozdział 6 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Page 3 and 4: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 19: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 37: Bibliografia [1] B. Baron: Metody n

RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?