RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

More documents

Recommendations

Info

32 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Metody ze stałym krokiem stosuje się w programach symulacyjnych, dla przykładu program SIMULINK w wersji 2 wykorzystuje właśnie metody ze stałym krokiem i zmiennym rzędem.Efektywne, profesjonalne implementacje metod Adamsa wykorzystuja˛ dość złożone algorytmicznie wersje z nierównoodległymi punktami, z bieżacymi ˛ zmianami zarówno długości kroku jak i rzędu metody. Metody te sa˛ samostartujace, ˛ zmiana długości kroku i rzędu jest w nich z kroku na krok łatwa. Satojednez ˛ najlepszych aktualnie znanych algorytmów. 6.3 RÓWNANIA ŹLE UWARUNKOWANE Rozważmy przykład: y 0 (x)= Ay(x), ∙ ¸ ∙ ¸ −667 333 0 A = y 0 = x ∈ [0, 10] . 666 −334 3 Jak łatwo wyliczyć Sp (A) ={λ 1 ,λ 2 } = {−1, −1000} , zaś rozwi˛ azanie: y 1 (x) = e −x − e −1000x , y 2 (x) = 2e −x + e −1000x . Rozwiazanie ˛ jest szybko zmienne w krótkiej poczatkowej ˛ fazie (dominuje e −1000x ), anastępnie bardzo wolno zmienne. Efektywna procedura powinna całkować pierwszy odcinek z krokiem 1000 razy mniejszym (stosunek wartości własnych). Np. dla metody P 3 EC 3 E z warunku absolutnej stabilności mamy (odcinek absolutnej stabilności wynosi [−2, 0]): |λ 1 h| < 2 ⇒ h< 2 |λ 1 | =2, |λ 2 h| < 2 ⇒ h< 2 |λ 2 | =2· 10−3 . Procedura całkuje najpierw z krokiem mniejszym od 2 · 10 −3 , którego nie można zwiększyć, gdyż wychodzi się poza obszar absolutnej stabilności - mimo że należałoby całkować dalej z krokiem 1000 razy większym. Algorytm usiłuje zwiększać krok (tak mu podpowiada szacowanie błędów), ale stajac ˛ się niestabilnym generuje zwiazan ˛ az ˛ tym lawinę błędów - i musi skracać krokaż wejdzie w obszar absolutnej stabilności. Dla liniowego układu równań y 0 = Ay mówimy, że jest on żle uwarunkowany (”sztywny”, ang.stiff), jeśli iloraz modułów wartości własnych macierzy A, największegodonajmniejszego,jestduży (znacznie większy od jedności). W przypadku nieliniowego układu równań bierzemypoduwagę macierz jego przybliżenia liniowego (macierz jakobianowa).. ˛
P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYCZNE 33 Dla układów źle uwarunkowanych należy stosować metody numeryczne o bardzo dużych, nieskończonych obszarach stabilności absolutnej. Nie sa˛ takimi omawiane wcześniej metody predyktor-korektor Adamsa czy metody Runge-Kutty (obszary absolutnej stabilności metod R-K sategosamegorzędu ˛ co metod Adamsa, zob. np. [6]). Przykład. Dla metody Eulera (metoda jawna) mamy: y n = y n−1 + h · f (x n−1 ,y n−1 ) , dla równania y 0 = λy, (λ
Page 1 and 2: Rozdział 6 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Page 3 and 4: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 31: P. Tatjewski WYBRANE METODY NUMERYC
Page 37: Bibliografia [1] B. Baron: Metody n

RÃ³wnania rÃ³Å¼niczkowe zwyczajne

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?