Równania różniczkowe zwyczajne

26 ROZDZIAŁ 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Podobnie uzyskuje się postaćrównoważna˛
wzoru iteracyjnego dla metod Adamsa-
Moultona wykorzystujac ˛ aróżnice ˛ wsteczne: .
kX
y n = y n−1 + h · γ ∗ j ·5 j f n ,
j=0
gdzie różnice wsteczne liczone sa˛
w oparciu o punkty f n = f n (x n ,y n ),f n−1 ,f n−2 , ... , f n−k .
Wartości parametrów γ j i γ ∗ j dla algorytmów metod Adamsa w postaci wzorów
iteracyjnych z różnicami wstecznymi podane sa˛
w tabeli 9. Należy zwrócić uwagę, że
wartości współczynników γ j i γ ∗ j s a ˛ dla tych samych wartości j te same dla algorytmów
różnego rzędu.
Tabela 9. Parametry metod Adamsa w wersji różnicowej
j 0 1 2 3 4 5 6 7
γ j 1
1
2
5
12
3
8
251
720
95
288
19087
60480
36799
120960
γ ∗ j 1 − 1 2
− 1 12
− 1
24
− 19
720
− 3
160
− 863
60480
− 1375
120960
Dla metod Adamsa stałe błędu zwiazane ˛ sa˛
jednoznacznie nie tylko ze współczynnikami
α j i β j ,aleoczywiście też zewspółczynnikami γ j ,mamy:
Twierdzenie [6].
Dla każdego k =1, 2, ... k-krokowa metoda Adamsa-Bashfortha jest rzędu p = k
iostałej błędu c k+1 = −γ k ,zaś k-krokowa metoda Adamsa-Moultona jest rzędu
p = k +1iostałej błędu c ∗ k+2 = −γ∗ k+1 .
Nawiazuj ˛ ac ˛ do określenia metod jawnych i niejawnych Adamsa w postaci różnicowej
można algorytm predyktor-korektor Adamsa P k EC k−1 Ezapisaćwnastępujacej
˛
równoważnej postaci różnicowej:
P: y [0]
n
= y n−1 + h k−1 P
j=0
j=0
γ j 5 j f n−1 ,
E: f n [0] = f(x n ,y n [0] ),
C: y n = y n−1 + h k−1 P
γ ∗ j∇ j f n [0] ,
E: f n = f (x n ,y n ) ,
gdzie 5 j f n−1 , j =0, 1,...,k − 1 saróżnicami ˛ wstecznymi określonymi na podstawie
wartości f n−1 , ..., f n−k ,natomiast∇ j f n [0] , j =0, 1, ..., k − 1 saróżnicami ˛ wstecznymi
określonymi na podstawie wartości f n [0] ,f n−1 , ..., f n−k+1 .Ponieważ w przypadku tym
predyktor i korektor sa˛
tego samego rzędu, to do szacowania błędu aproksymacji