Федеральное государственное автономное образовательное ...

64Условие задачиПлотность вероятности р 1(х ) случайной величины X имеет видр1(х)= α exp( − β x ) , − ∞ x ∞ ,где α и β – постоянные величины. Требуется:1) найти соотношение, которому должны удовлетворять постоянные и ;2) вычислить функцию распределения F 1(x ) случайной величины X;3) построить графики плотности вероятности и функции распределения при β = 2.Решение.1. Чтобы найти соотношение между постоянными и , воспользуемсяусловием нормировки для плотности вероятности. При этом учтем, что плотностьвероятности имеет разные аналитические выражения при x 0 и x 0 :∞∫− ∞∞0∞21( ) = − β x⎡⎤β x∫= ⎢ ∫ + ∫− β x αp x dx α e dx α e dx e dx ⎥ = = 1− ∞⎣ − ∞0 ⎦ βСледовательно,β = 2α .2. Функция распределения , по определению, равна:При x 0При x 03. ПриFx∫− ∞F1 ( x)= p1(z)dz .xβ z α β x1( x)α e dz = e == ∫− ∞x1− β z 1 1 1 − β x 1 − β xF1 ( x)= + α ∫ e dz = + − e = 1 − e .22 2 2 20− 2 xβ = 2 p1 ( x)= e ,Fβx1( x)=− 2х12.eβ x2⎧ 0,5e, прих ≤ 0,⎨⎩1− 0,5е, прих 0.Графики и при изображены на рисунке 2.6..