Выпуск 14

ПРОФИЛЬ32сентябрь 2011 / ИНФОРМАТИКАA = 1 получаем единственное решение, для которогоC=1:A B C1 0 1Таким образом, существует единственное решениесистемы: A = 1, B=0 и C=1. Это значит, что вморе вышли корабли А и C.Количество решенийИногда требуется определить только количестворешений системы логических уравнений, при этомнаходить сами решения не нужно.Задача 2. Найти количество решений системыуравнений:⎧X1+ X2= 1⎪X2+ X3= 1⎨⎪...⎪⎩X9 + X10= 1где X 1KX 10 — неизвестные логические величины.Здесь 10 переменных, поэтому при решении системычерез таблицу истинности нужно заполнить2 10 = 1024 строки, что трудновыполнимо. Поэтомурешения, сводящиеся к полному перебору вариантов,нужно отбросить. Поскольку все правые части равны 1,можно легко свести систему к одному уравнению:( X1+ X2) ⋅ ( X2+ X3) ⋅K⋅ ( X9 + X10)= 1 ,но такой подход также не внушает оптимизма.Несложно заметить, что первое уравнение зависиттолько от X1 и X2, затем во втором уравнении добавляетсяX3 и т.д. Поэтому логично попробовать решатьуравнения последовательно. Начнем строить дереворешений, и одновременно будем записывать его ввиде таблицы. Первое уравнение, X1+ X2= 1, обращаетсяв истинное равенство в трех случаях:X1X2X 1010 00 11 1X 20 1 1Теперь подключаем второе уравнение,X2 + X3= 1. Допустимые значения X 3 зависят отранее выбранного значения X2: если X2= 0, то X3может принимать любое значение (0 или 1), а еслиX2= 1, то X3= 1. Дерево и соответствующая емутаблица выглядят так:X X1 2X3X 10100 010 1 101 11 1 1X 2X 30111Легко заметить, что при добавлении очередногоуравнения (и очередной переменной) верхняястрока таблицы (где все нули) дает два решения(они выделены зеленым фоном), а остальныестроки — по одному. Поэтому количество решенийувеличивается на 1. Таким образом, системаиз трех уравнений имеет 5 решений, из четырех— 6, а исходная система из девяти уравнений— 11 решений.Рассмотрим более сложный пример на ту жетему.Задача 3. Найти количество решений системыуравнений:( )( )⎧ X2 ≡ X1 + X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3= 1⎪⎪ X3 ≡ X1 + X3 ⋅ X4 + X3 ⋅ X4= 1⎪⎨K⎪⎪( X9 ≡ X1)+ X9 ⋅ X10 + X9 ⋅ X10= 1⎪⎩( X10 ≡ X1)= 0где X 1K X 10— неизвестные логические величины.Здесь, так же как и в предыдущей задаче, удобнеевсего последовательно решать уравнения и записыватьполученные решения в таблицу (дереворисовать не будем для сокращения записи). Сначалаупростим исходные уравнения, заметив, что( )X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3 = X2 ≡ X3 , так что исходнуюсистему можно записать в виде⎧( X2 ≡ X1) + ( X2 ≡ X3)= 1⎪⎪( X3 ≡ X1) + ( X3 ≡ X4)= 1⎪⎨K⎪⎪( X9 ≡ X1) + ( X9 ≡ X10)= 1⎪⎩( X10 ≡ X1)= 0В первом уравнении используются три переменных( X 1K X 3 ). Значения X1 и X2могут быть выбраныпроизвольно четырьмя способами:X1X20 00 11 01 1Теперь добавляем X 3и первое уравнение какограничение. Запишем в таблицу все комбинациипеременных, при которых выполняется первоеуравнение:X1X2X30 0 00 0 10 1 11 0 01 1 01 1 1Если X2 = X1, то значение X 3 может быть любое(эти строки выделены зеленым цветом), а приX X получаем только один вариант: X = X .≠2 13 2