Выпуск 14

ПРОФИЛЬ34сентябрь 2011 / ИНФОРМАТИКАудовлетворяют две логические функции, которыезадаются таблицами истинностиA B X1A B X20 0 0 0 0 00 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1В первом случае получаем X1= A ⋅ B, а во втором— X2= A ⋅ B + A ⋅ B = B. Исходная системауравнений имеет два решения.Логические уравнения такого типа не всегдаимеют решение в двузначной логике. Например,уравнение X + A = X + B не имеет решений, потомучто при A = B = 0 получаем X = X , что невыполнимо.Задачи для тренировки:1) На вопрос “Кто из твоих учеников изучал логику?”учитель ответил: “Если логику изучал Андрей,то изучал и Борис. Однако неверно, что если изучалСемен, то изучал и Борис”. Составьте систему логическихуравнений и определите, кто же изучал логику.(Ответ: только Семен.)2) Суд присяжных пришел к таким выводам:а) если Аськин не виновен или Баськин виновен,то виновен Сенькин; б) если Аськин не виновен, тоСенькин не виновен. Составьте систему логическихуравнений, решите ее и сделайте выводы о виновноститрех подозреваемых. (Ответ: Аськин точновиновен, про остальных ничего определенного сказатьнельзя.)3) Прогноз погоды выглядит так: “Если не будетветра, то будет пасмурная погода без дождя. Еслибудет дождь, то будет пасмурно и без ветра. Еслибудет пасмурная погода, то будет дождь и не будетветра”. Составьте и решите систему логическихуравнений и определите, какая погода может бытьзавтра. (Ответ: ясно, ветер, без осадков.)4) Сколько различных решений имеет системауравнений⎧(X1 ≡ X2) ⋅(X3 ≡ X4) + (X1 ≡ X2) ⋅(X3 ≡ X4)= 0⎪⎪(X3 ≡ X4) ⋅(X5 ≡ X6) + (X3≡ X4) ⋅(X 5≡ X6)= 0⎨⎪(X5 ≡ X6) ⋅(X7 ≡ X8) + (X5≡ X6) ⋅(X7 ≡ X8)= 0⎪⎪⎩(X7 ≡ X8) ⋅(X9 ≡ X10) + (X7 ≡ X8) ⋅(X9 ≡ X10)= 0где X 1K X 10 — логические переменные?(Ответ: 64)5) Сколько различных решений имеет системауравнений⎧X1 ⋅ X2 + X1 ⋅ X2 + ( X1 ≡ X3)= 1⎪⎪X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3 + ( X2 ≡ X4)= 1⎪⎨K⎪⎪X7 ⋅ X8 + X7 ⋅ X8 + ( X7 ≡ X9)= 1⎪⎩X8 ⋅ X9 + X8 ⋅ X9 + ( X8 ≡ X10)= 1где X 1K X 10 — логические переменные?(Ответ: 20)6) Сколько различных решений имеет системауравнений⎧X1 ⋅ X2 + X1 ⋅ X2 + ( X1 ≡ X3)= 1⎪⎪X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3 + ( X2 ≡ X4)= 1⎪⎨K⎪⎪X7 ⋅ X8 + X7 ⋅ X8 + ( X7 ≡ X9)= 1⎪⎩X8 ⋅ X9 + X8 ⋅ X9 + ( X8 ≡ X10)= 0где X 1K X 10 — логические переменные?(Ответ: 16)7) Сколько различных решений имеет системауравнений⎧X1 ⋅ X2 + X1 ⋅ X2 + X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3= 1⎪X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3 + X3 ⋅ X4 + X3 ⋅ X4= 1⎨⎪K⎪⎩X8 ⋅ X9 + X8 ⋅ X9 + X9 ⋅ X10 + X9 ⋅ X10= 1где X 1K X 10 — логические переменные?(Ответ: 178)8) Сколько различных решений имеет системауравнений⎧X1 ⋅ X2 + X1 ⋅ X2 + X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3= 1⎪X2 ⋅ X3 + X2 ⋅ X3 + X3 ⋅ X4 + X3 ⋅ X4= 1⎪⎨K⎪X ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎪7X8 X7 X8 X8 X9 X8 X91⎪⎩X8 ⋅ X9 + X8 ⋅ X9 + X9 ⋅ X10 + X9 ⋅ X10= 0где X 1K X 10 — логические переменные?(Ответ: 42)9) Сколько различных решений имеет системауравнений⎧( X1 ≡ X2)+ X1 ⋅ X10 + X1 ⋅ X10= 1⎪⎪( X2 ≡ X3)+ X2 ⋅ X10 + X2 ⋅ X10= 1⎪⎨K⎪⎪( X9 ≡ X10)+ X9 ⋅ X10 + X9 ⋅ X10= 1⎪⎩( X1 ≡ X10)= 0где X 1K X 10 — логические переменные?(Ответ: 0)10) Сколько различных решений имеет системауравнений⎧( X1 → X2) + ( X1 → X3)= 1⎪⎪( X2 → X3) + ( X2 → X4)= 1⎨⎪K⎪⎩( X8 → X9) + ( X8 → X10)= 1где X 1K X 10— логические переменные?(Ответ: 232)11) Найдите все пары логических функций( X(A, B); Y(A, B) ), удовлетворяющие при любыхзначениях логических переменных A и B системеуравнений:⎧X ⋅ A + B = B ⋅ Y⎨⎩Y ⋅ B + A = A ⋅ X(Ответ: X = A или X = A + B ; Y = 0 илиY = A ⋅ B, причем X и Y могут выбираться независимодруг от друга.)