Viša Geometrija - Front Slobode

3.2. AKSIOMI RASPOREDA 133.2 Aksiomi rasporedaU euclidovim Elementima poredak tačaka na pravoj nigdje nije izdvojen već sepodrazumjevao budući da je intuitivno bio jasno odre ¯den zahvaljujući pore ¯denjudužina. Tek je C.F. Gauss primjetio 1832. godine da neke prostije stavove orasporedu tačaka na pravoj treba usvojiti kao aksiome, a da pojam “izme ¯du” trebarigorozno definisati.Hilbert je pojam “izme ¯du” prihvatio kao jedan od osnovnih pojmova geometrije,a njegov potpun opis postigao pomoću druge grupe aksioma. Primjetite da seu literaturi koristi oznakaBza tročlanu relaciju “izme ¯du”. Mi ćemo je izbjegavatikad god je to moguće.Aksiom II 3.2.1. Ako se tačkaB nalazi izme ¯du tačakaAiC, onda suA,B iC trirazne tačke neke prave i tačka B se tako ¯de nalazi izme ¯du C i A (nekad navedenokao odvojeni aksiom: B(A,B,C) ⇒ B(C,B,A)).Aksiom II 3.2.2. Ma koje bile dvije tačkeAiB, postoji najmanje jedna tačkaC,takva da jeB izme ¯duAiC.Aksiom II 3.2.3. Od tri tačke jedne prave, najviše jedna se nalazi izme ¯du ostaledvije.Aksiom II 3.2.4. Neka su A, B i C tri tačke koje ne pripadaju istoj pravoj i nekaje a neka prava ravni ABC, kojoj ne pripada ni jedna od tačaka A, B i C. Akoprava a sadrži tačku, koja je izme ¯du A i B, onda onda, tako ¯de, sadrži tačku kojaje ili izme ¯duAiC ili izme ¯duB iC.Samo se zadnji od ovih aksioma odnosi na geometriju ravni, dok se ostaliodnose na geometriju prave i nazivaju se linearnim.3.2.1 Posljedice aksioma rasporedaDefinicija 3.2.5. Posmatrajmo na pravoj a dvije tačke A i B. Sistem tačaka izme¯du A i B se zove duž i označava sa AB ili BA. Tačke izme ¯du A i B su tačkeduži AB, a same tačke A i B su krajnje tačke te duži. Sve ostale su spoljašnjetačke duži AB.Primjedba 3.2.6. Nekad ćemo, radi jednostavnosti, pravu koja sadrži duz ABoznačavati isto tako, tj, saAB.Teorema 3.2.7. Ako su A,B,C tri nekolinearne tačke, a P,Q,R tačke takve dajeB(B,P,C),B(C,Q,A),B(A,R,B), tada su P,Q,R nekolinearne tačke.Dokaz Kako jeB(C,Q,A),B(A,R,B) na osnovu aksioma II1 slijedi da su tačkeQ iRrazličite odApa, kako se nalaze na različitim pravama, na osnovu aksiome