Viša Geometrija - Front Slobode

4.4. MODELI HIPERBOLIČKE RAVNI I PROSTORA 454.4 Modeli hiperboličke ravni i prostora4.4.1 Poincareov disk modelNeka je zadat krug Euclidske ravni. Nazovima taj krug apsolutom, njegovu unutrašnjosth-ravni, a svaku tačku h-ravni, nazovimo h-tačkom. Ako je proizvoljankrug (ili prava) Euclidske ravni upravan na apsoluti, njegov presjek sa h-ravninazovimo h-pravom. Tačke u kojima taj krug (ili prava) siječe apsolutu zvaćemokrajevima te h-prave. Svaki segment kruga (ili duž prave) koji je upravanna apsoluti, čija tjemena pripadaju h-ravni, nazvaćemo h-duži, a segmenttoga kruga čije je jedno tjeme na apsoluti, a drugo pripada h-ravni, nazvaćemoh-polupravom. Prvo od tih tjemena zvaćemo krajem, a drugo tjemenom h-poluprave. Neposredno se provjerava da h-prava razlaže h-ravan na dvije oblastikoje zovemo h-poluravnima. Tu h-pravu zvaćemo rubom poluravni. Dvije h-poluprave koje imaju zajedničko tjeme razlažu h-ravan na dvije oblasti koje nazivamoh-uglovima, a te dvije poluprave nazivamo kracima tog h-ugla.Ako su A,B,C tri h-tačke koje ne pripadaju jednoj h-pravoj, tada skup kojičine duži AB,BC,AC nazivamo h-trouglom, a analogno definišemo pojam uglah-trougla. Ovaj proces možemo produžiti da obuhvati h-poligonske linije, h-poligone, ugao h-poligona, h-poligonske površi, h-triangulacije, itd.Inverzijom u odnosu na krugk upravan na apsoluti ili refleksijom u odnosu napravu k upravnu na apsoluti, h-ravan se preslikava na sebe. Restrikciju te inverzijenah-ravan zvaćemoh-refleksijom. Uvo ¯denju pojmah-podudarnosti prethodinekoliko rezultata.Teorema 4.4.1. Za dvije razne h-tačke A i B postoji jedinstvena h-refleksija kojomse te dvije tačke preslikavaju jedna na drugu.Dokaz Lučić str. 279-280.Teorema 4.4.2. Ako se dvijeh-prave sijeku, tada postoje dvijeh-refleksije kojimase one preslikavaju jedna na drugu, a ako su disjunktne, tada postoji jedinstvenah-refleksija kojom se one preslikavaju jedna na drugu.Dokaz Lučić str. 280.Iz prethodna dva rezultata diketno slijediTeorema 4.4.3. Postoji jedinstvena h-refleksija kojom se dvije h-poluprave sazajedničkim tjemenom preslikavaju jedna na drugu.Zah-tačku koja se razliku od dvaju tačakaAiC reći ćemo da je h-izme ¯du tihdviju tačaka i pisaćemoB h (A,B,C)