Viša Geometrija - Front Slobode

••3.4. AKSIOMI NEPREKIDNOSTI 25D•ABC•Slika 3.1: Nejednakost trouglaDokaz Lučić str. 169.Ako mjeru duži AB nazovemo rastojanjem izme ¯du tačaka A i B i ako pretpostavimoda je mjera nula duži, nula, onda je na taj način u apsolutni prostoruvedena metrika. Ako saρ L (A,B)obilježimo uvedeno rastojanje izme ¯du tačakaAiB, onda je1 ◦ ρ L (A,B) = 0 ako i samo ako su tačkeAiB istovjetne,2 ◦ ρ L (A,B) = ρ L (B,A),3 ◦ ρ L (A,B)+ρ L (B,C) ≥ ρ L (A,C).Prve dvije tvrdnje se dokazuju direktno, a treća slijedi iz teorema 3.4.12 i teorema:Teorema 3.4.16. Zbir dvaju ivica trougla je veći od njegove treće ivice, a razlikadvaju ivica trougla je manja od njegove treće iviceDokaz Neka je ABC proizvoljan trougao i D tačka poluprave BA takva da jeB(B,A,D) i AC ∼ = AD. Tada je ∠BCD > ∠BCA i ∠ACD ∼ = ∠BDC odakleslijedi da je ∠BCD > ∠BDC, pa je, kako je jedna ivica trougla veća od drugeako i samo ako je naspram nje veći ugao (Lučić str 89), BD > BC i prema tomeAB +AC > BC.