Viša Geometrija - Front Slobode

4.3. ASIMPTOTSKI POLIGONI I POLIEDRI 41prave paralelne ravniπ, a ne mogu biti ni paralelne budući da u svakoj tački jedneod dvaju paralelnih ravni postoji prava koja je paralelna drugoj.Ako su ravni α i π paralelne, ravan σ koja sadrži A i upravna je na ravnimaα i π siječe α i π duž pravih koje su paralelne, pa stoga postoji prava a ravni α,koja sadrži A i paralelna je ravni π. Ako bi postojala još jedna prava b ravni αkoja sadrži A i paralelna je ravni π, tada bi se, na osnovu prethodnog, ravni α i πsjekle. Dakle, ako su ravniαiπ paralelne, u ravniαpostoji jedinstvena prava kojasadrži neku tačku te ravni i paralelna je ravni π. Obratno, ako u ravni α postojijedinstvena prava koja sadrži tačku A te ravni i paralelna je π, tada se ravni α i πne sijeku, a nisu ni hiperparalelne, pa su stoga, paralelne.4.2.5 Izometrije hiperboličkog prostoraPrije klasifikacije izometrijskih transformacija hiperboličkog prostora, definišimodvije izometrije s kojim se možda do sada niste susretali. To su: oriciklička rotacijaili paralelno pomjeranje hiperboličkog prostora i oriciklička refleksija. Prvaod njih je kompozicija dvaju ravanskih refleksija u odnosu na me ¯dusobno paralelneravni, a druga je kompozicija ravanskih refleksija čije su osnove ravni odkojih su dvije me ¯dusobno paralelne i upravne na trećoj.Teorema 4.2.14. Ako nije identičnost, direktna izometrija hiperboličkog prostoraje ili rotacija, ili translacija, ili paralelno pomjeranje ili zavojno kretanje.Teorema 4.2.15. Ako nije ravanska refleksija, indirektna izometrija hiperboličkogprostora je ili rotaciona, ili oriciklička ili klizajuća refleksija.4.3 Asimptotski poligoni i poliedri4.3.1 Poligoni sa nesvojstvenim tjemenimaAko dopustimo da dvije susjedne ivice poligona ne budu duži, već dvije me ¯dusobnoparalelne poluprave, dobijeni lik ćemo zvati nesvojstvenim poligonom sajednim nesvojstvenim tjemenom. Dopustićemo da poligon ima i više nesvojstvenihtjemena, a nećemo isključiti ni mogućnost da dva susjedna tjemena poligonabudu nesvojstvena. Poligon koji ima bar jedno nesvojstveno tjeme zvaćemo nesvojstvenimili asimptotskim poligonom. Pretpostavićemo da je mjera ugla kodnesvojstvenog tjemena nula.Asimptotski trougao može imati jedno, dva ili tri nesvojstvena tjemena. Izdvojićemonekoliko svojstava takvih trouglova koja su analogna nekim već poznatimstavovima iz geometrije trougla.