Viša Geometrija - Front Slobode

3.5. AKSIOM PARALELNOSTI 29Teorema 3.5.7 (Peti Euclidov postulat). Ako dvije prave pri presjeku sa trećomobrazuju suprotne uglove, čiji je zbir različit od zbira dva prava ugla, one se sijekui to sa one strane sječice sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla.Dokaz Zaista, neka suAB iA ′ B ′ dvije prave koje pravapsiječe u tačkamaP iP ′respektivno. Iz aksioma podudarnosti slijedi da kroz tačkuP ′ prolazi jedna prava,A ′′ B ′′ recimo, takva da je zbir suprotnih uglova, koje ona i prava AB obrazujusa pravom p, jednak zbiru dva prava ugla. S obzirom na naprijed izloženo, pravaA ′′ B ′′ je paralelna pravoj AB, a s obzirom na aksiom paralelnosti, to je i jedinaprava koja prolazi kroz tačkuP ′ a paralelna je pravojAB.Dakle, prava A ′ B ′ mora sjeći pravu AB. Da se taj presjek mora nalaziti saone strane pravep, sa koje je zbir suprotnih uglova manji od zbira dva prava ugla,slijedi iz Teoreme 3.4.20, prema kojoj zbir dva unutrašnja ugla trougla ne možebiti veći od zbira dva prava ugla.Posljedica 3.5.8. Peti Euclidov postulat nije samo posljedica aksioma paralelnosti,on mu je i ekvivalentan. Dakle ne samo da se Euclidov postulat može dokazatina osnovu aksiooma Hilbertovog sistema, nego se i aksiom paralelnosti možedokazati koristeći prve 4 grupe aksioma i V Euclidov postulat.Dokaz Zaista, ako se dvije praveAB iA ′ B ′ koje u presjeku sa pravompobrazujusuprotne uglove čiji je zbir različit od zbira dva prava ugla, uvijek sijeku, ondakroz tačkuP ′ prolazi samo jedna prava koja ne siječe pravuAB (koja joj je dakleparalelna) – ona koja sa pravom AB pri presjeku sa pravom p, obrazuje suprotneuglove čiji je zbir jednak zbiru dva prava ugla.Još neki ekvivalenti aksioma paralelnosti su:Teorema 3.5.9. “Zbir uglova svakog trougla jednak je zbiru dva prava ugla” jeekvivalentno aksiomu paralelnosti.Dokaz Dokaz teoreme “Zbir uglova svakog trougla jednak je zbiru dva pravaugla” je srednjoškolski materijal, pa ćemo stoga samo dokazati obratno tvrdjenje.Pretpostavimo dakle da su zadovoljeni svi aksiomi prve četiri grupe Hilbertovihaksioma i tvrdjenje “Zbir uglova svakog trougla jednak je zbiru dva pravaugla”.Neka imamo pravu p i van nje tačku P . Neka je PP ′ normala iz P na p, a p ′normalna u P na PP ′ . Prava p ′ je paralelna pravoj p. Treba dokazati da je ona ijedina takva prava koja prolazi kroz tačku P , tj da svaka druga prava PE siječepravu p.U tu svrhu uočimo na pravojptačkeA,A 1 ,A 2 ,...,A n takve da jePP ′ ∼ = P ′ A,PA ∼ = AA 1 ,...,PA n−1∼ = An−1 A n .