Viša Geometrija - Front Slobode

4.4. MODELI HIPERBOLIČKE RAVNI I PROSTORA 47Da bismo dokazali da važi peti aksiom podudarnosti, pretpostavimo da suA,B dvije razneh-tačke, a da jeC tjeme nekeh-polupravec. Tada, na osnovu teoreme4.4.1, postoji jedinstvenah-refleksija kojoj se tačkaApreslikava u tačkuC.Neka se tom h-refleksijom h-poluprava AB preslikava na neku h-polupravu e, atačkaB u tačkuE te poluprave. Kako postojih-refleksija kojom seh-polupraveciepreslikavaju jedna na drugu, tomh-refleksijom seh-tačkaE preslikava u nekuh-tačku D. Dakle, ako su A i B dvije razne h-tačke i C-tjeme neke h-poluprave,tada na tojh-polupravoj postojih-tačkaDtakva da je(A,B) ∼ = h (C,D). Štaviše,tačkaD je jedinstvena (vježba).Dokažimo da važi i šesti aksiom podudarnosti. U tom cilju, pretpostavimo dase ure ¯deni par (A,B) preslikava nekom h-podudarnošću na ure ¯deni par (A ′ ,B ′ ).Ako se h-tačka C koja ne pripada h-pravoj AB preslikava tom h-podudarnošćuu h-tačku C ′ , tada je (A,C) ∼ = h (A ′ ,C ′ ) i (B,C) ∼ = h (B ′ ,C ′ ). U h -poluravnisa rubom A ′ B ′ , kojoj pripada C ′ postoji jedinstvena h-tačka koja zadovoljava teuslove jerh-podudarnost čuvah-uglove budući da ih čuva svaka inverzija (i refleksija).Dakle, (A,B) ∼ = h (A ′ ,B ′ ), (B,C) ∼ = h (B ′ ,C ′ ) i (C,A) ∼ = h (C ′ ,A ′ ), tadapostoji h-izometrija koja ure ¯denu trojku (A,B,C) preslikava na ure ¯denu trojku(A ′ ,B ′ ,C ′ ). Štaviše, ta izometrija je jedinstvena.Da bismo dokazali i sedmi aksiom podudarnosti, pretpostavimo da suA,B,Ci A ′ ,B ′ ,C ′ dvije trojke h-nekolinearnih tačaka i D i D ′ tačke h-polupravih BCi B ′ C ′ takve da je (A,B) ∼ = h (A ′ ,B ′ ), (B,C) ∼ = h (B ′ ,C ′ ), (C,A) ∼ = h (C ′ ,A ′ ),(B,D) ∼ = h (B ′ ,D ′ ). Kako postoji jedinstvena h-izometrija koja ure ¯denu trojku(A,B,C) preslikava na ure ¯denu trojku (A ′ ,B ′ ,C ′ ), tom h-izometrijom se tačkaD preslikava u tačku D ′ jer na h-polupravoj B ′ C ′ postoji jedinstvena h-tačka Dtakva da je(B,D) ∼ = h (B ′ ,D ′ ), pa je stoga i (A,D) ∼ = h (A ′ ,D ′ ).Konačno, dokažimo i četvrti aksiom podudarnosti: ako su C i C ′ tačke h-duži AB i A ′ B ′ takve da je (A,C) ∼ = h (A ′ ,C ′ ), (B,C) ∼ = h (B ′ ,C ′ ), tada je i(A,B) ∼ = h (A ′ ,B ′ ). Zaista, budući da na h-polupravoj A ′ B ′ postoji jedinstvenah-tačka C ′ takva da je (A,C) ∼ = h (A ′ ,C ′ ), a da na h−polupravoj C ′ B ′ postojijedinstvena h−tačka B, takva da je (C,B) ∼ = h (C ′ ,B ′ ), h-izometrijom kojomse ure ¯deni par (A,C) preslikava na (A ′ ,C ′ ), ure ¯deni par (B,C) s epreslikava na(B ′ ,C ′ ), pa se njome i ure ¯deni par(A,B) preslikava na(A ′ ,B ′ ).Budući da važi Dedkindova teorema, te da su Arhimedov i Cantorov aksiomposljedice te teoreme, nah-pravoj su zadovoljena oba aksioma neprekidnosti.Kako je, na osnovu teoreme 4.4.4, zbir unutrašnjih uglova proizvoljnog h-trougla manji od π, u h-ravni će, na osnovu teoreme 4.1.4, važiti aksim Lobačevskog.h-ravan je stoga model hiperboličke ravni.