Viša Geometrija - Front Slobode

3.4. AKSIOMI NEPREKIDNOSTI 23Drugim rječima, tačkaC pripada svakoj dužiA n B n .Na osnovu ovoga slijediTeorema 3.4.10. Aksiomi neprekidnosti Hilbertovog sistema aksioma su ekvivalentniDedekindovom principu za pravu.3.4.1 Posljedice aksioma neprekidnostiNa osnovu ovih aksioma može se zasnovati mjerenje duži i uglova.Definicija 3.4.11. Mjerom ili dužinom duži nazivamo funkcijuLkoja svakoj dužia dodjeljuje pozitivan realan brojL(a), a zadovoljava slijedeće uslove:1 ◦ postoji duž kojoj je mjera 1,2 ◦ mjere podudarnih duži su me ¯dusobno jednake,3 ◦ ako sua,b,c tri duži takve da jea+b = c, onda jeL(a)+L(b) = L(c).Broj L(a) nazivamo mjerom duži a, a duž čija je mjera 1 nazivamo jediničnom.Teorema 3.4.12. MjeraLduži ima slijedeće osobine(a) Dužaje manja od dužibako i samo ako jeL(a) < L(b).(b) Duži su podudarne ako i samo su im mjere me ¯dusobno jednake.(c) Ako sua,b,c tri duži takve da jea−b = c, onda jeL(a)−L(b) = L(c).(d) Ako jek ∈ N onda je( ) 1L(ka) = kL(a) i L2 ka = 1 2 kL(a)Slijedeće tri teoreme nam omogućavaju da uvedemo metriku.Teorema 3.4.13. Neka je funkcijaLmjera duži. FunkcijaL ′ je tako ¯de mjera dužiako i samo ako postoji pozitivan realan brojλtakav da jeL ′ = λL.