Viša Geometrija - Front Slobode

4.3. ASIMPTOTSKI POLIGONI I POLIEDRI 43• (b) Ako bi jedna od ivica AB i A ′ B ′ , recimo ivica AB bila veća od druge,tada bi postojala tačka C duži AB takva da je AC ∼ = A ′ B ′ i jedinstvenapoluprava(CN) paralelna svakoj od ivica(AN) i (BN). U tom slučaju biasimptotski trougloviACN iA ′ B ′ N ′ bili podudarni, pa bi u asimptotskomtrouglu CBN spoljašnji ugao kod tjemena C bio podudaran unutrašnjemuglu kod tjemenaB, što je nemoguće.Budući da prethodna teorema vrijedi i u posebnom slučaju kad je jedan od asimptotskihtrouglova pravougli, neposredno se pokazuje da važi i slijedeće tvr ¯denje:Teorema 4.3.3. Ako su ABN i A ′ B ′ N ′ asimptotski trouglovi sa nesvojstvenimtjemenima N i N ′ i pravim uglovima kod tjemena B i B ′ , tada su uglovi A i A ′toh dvaju trouglova me ¯dusobno podudarni ako i samo ako jeAB ∼ = A ′ B ′ .Refleksijom u odnosu na pravu koja sadrži jedino svojstveno tjeme A asimptotskogtrougla AMN i upravna je na naspramnoj ivici MN tog trougla, trougaoAMN se preslikava na trougaoANM. Stoga, iz prethodne dvije teoreme slijedi:Teorema 4.3.4. Dva asimptotska trougla AMN i A ′ M ′ N ′ sa nesvojstvenim tjemenimaM,N,M ′ ,N ′ , su podudarna ako i samo ako su im uglovi A i A ′ me ¯dusobnopodudarni.Da bismo dokazali da postoji trougao kome su sva tri tjemena nesvojstvena,pretpostavimo da su a i b dvije me ¯dusobno paralelne prave. Iz dokaza teoreme4.2.4, slijedi da postoji prava n upravna na pravoj b, a paralelna pravoj a. RefleksijomS n prava b se preslikava na sebe, a prava a na neku pravu c paralelnui pravoj a i pravoj b. Prave a,b,c će biti ivice asimptotskog trougla kome su svatjemena nesvojstvena. Budući da prava n razlaže taj trougao na dva asimptotskatrougla, kojima su uglovi kod jedinih tjemena pravi, iz prethodne teoreme slijedida važi:Teorema 4.3.5. Bilo koja dva trougla kojima su sva tjemena nesvojstvena su me-¯dusobno podudarni likovi.Prave upravne na jednoj, a paralelne drugim dvjema ivicama nekog asimptotskogtrougla kome su sva tri tjemena nesvojstvena, sjeku se u nekoj tački S kojase naziva središtem tog trougla. Poluprave sa tjemenom S koje su paralelne ivicamatog trougla razlažu ravan kojoj pripadaju na tri me ¯dusobno podudarna ugla.Svaki od trouglova ABC kojima su tjemena na trima polupravama takva da jeSA ∼ = SB ∼ = SC je pravilan.