Viša Geometrija - Front Slobode

3.2. AKSIOMI RASPOREDA 15Definicija 3.2.14. Poluprostor je skup svih tačaka prostora, koje se nalaze sa istestrane uočene ravni tog prostora.Definicija 3.2.15. Ugao je skup dvije poluprave sa zajedničkom početnom tačkom.Teorema 3.2.16. Prava koja prolazi kroz tjeme A trougla ABC i sadrži nekuunutrašnju tačku tog trougla, siječe njegovu stranicuBC.Teorema 3.2.17. Ako je C tačka otvorene duži AB, tada tačka D koja nije istovjetnasa C pripada otvorenoj duži AB ako i samo ako pripada tačno jednoj odotvorenih dužiAC i CB.Teorema 3.2.18. Neka su A,B,C tri nekolinearne tačke. Presjek otvorenih dužiAB i BC je prazan ako i samo ako jeB izme ¯duAiC, tj. B(A,B,C).Teorema 3.2.19. Ako je B(A 1 ,A 2 ,...,A n ), tada tačka X koja je različita odtačakaA i ,∀i, pripada otvorenoj dužiA 1 A n , ako i samo ako pripada tačno jednojod otvorenih dužiA i Ai+1,i = 1,2,...,n−1.Teorema 3.2.20. Ako je(A i A i+1 ),i = 1,2,...,n−1,n > 3 konačan niz disjnktnihduži koje pripadaju nekoj pravoj, tada jeB(A 1 ,A 2 ,...,A n ).Teorema 3.2.21. Ako je dat ma koji broj tačaka na pravoj one se uvijek moguoznačiti sa A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 ,...,A n , tako daje tačka A 2 izme ¯du A 1 sa jednestrane i A 3 ,A 4 ,A 5 ,...,A n sa druge strane, A 3 izme ¯du A 1 ,A 2 sa jedne strane iA 4 ,A 5 ,...,A n itd. Osim ovog načina označavanja postoji još samo jedan, obrnuti,način označavanja, koji ima isto svojstvo.Drugim rječima, na pravoj postoje samo dva smjera.Dokaz Ako imamo tri tačke, tvr ¯denje je posljedica aksioma II3. Pretpostavimoda je tvr ¯denje tačno ako je broj tačaka izme ¯du3im ∈ N i dokažimo da je tačno izam+1 tačaka.Razmotrimo najprije pitanje broja načina na koje se skupA := {A 1 ,A 2 ,...,A m+1 }može linearno urediti. Ako pretpostavimo da je B(A 1 ,A 2 ,...,A m+1 ) tada je iB(A m+1 ,A m ,...,A 1 ). Ako jep 1 ,p 2 ,...,p m+1 permutacija brojeva1,2,...,m+1, izB(A p1 ,A p2 ,...,A pm+1 )slijedi da jeA p1 ,A pm+1 = A 1 ,A m+1 ,