Viša Geometrija - Front Slobode

3.4. AKSIOMI NEPREKIDNOSTI 21Teorema 3.4.7. Ne postoji duž koja bi bila manja od svake duži Cantorovog niza.Dokaz Lučic str. 160....Teorema 3.4.8. Dedekindova teorema/princip za pravu. Ako su sve tačke nekepraveppodijeljene u dva skupa M i N takva da1 ◦ svaka tačka praveppripada samo jednom od skupovaMiN ,2 ◦ skupoviMiN su neprazni,3 ◦ izme ¯du bilo kojih dviju tačaka jednog od tih skupova nema tačaka koje pripadajudrugom,tada postoji jedinstvena tačka X na pravoj p takva da su sve ostale tačke skupaM sa jedne strane te tačke, a sve ostale tačke skupaN sa druge.Dokaz Kako su skupovi M i N neprazni, postoje tačke M 1 i N 1 koje, redom,pripadaju tim skupovima. Neka jeS 1 središte dužiM 1 N 1 . TadaS 1 pripada pravojp, pa stoga, na osnovu uslova1 ◦ , pripada tačno jednom od skupovaMiN . Akotačka S 1 pripada skupu M, označićemo je sa M 2 , a tačku N 1 sa N 2 , a ako S 1pripada skupu N , označicemo je sa N 2 , a M 1 sa M 2 . Neka je S 2 središte dužiM 2 N 2 . Ponavljajući postupak dobivamo niz [M k N k ] k=1,2,... zatvorenih duži odkojih svaka duž sadrži slijedeću u tom nizu. Takav niz zvaćemo nizom polovinaduži.Dokažimo da ne postoji duž koja je sadržana u svim dužima konstruisanogniza polovina. Ako bi, naprotiv, postojala takva duž x, onda bi za svako k bilox < M k N k , a kako je, prema konstrukciji niza, M k N k = (1/2 k−1 )M 1 N 1 , bilobi x < (1/2 k−1 )M 1 N 1 , tj. 2 k−1 x < M 1 N 1 , ∀k, što protivrječi Arhimedovomaksiomu. Dakle niz [M k N k ] je Cantorov, pa postoji jedinstvena tačka X kojapripada svakoj duži niza polovina duži.Iz konstrukcije niza polovina duži slijedi da su sve tačke niza (M k ) k=1,2,... sajedne strane tačke X, a sve tačke niza (N k ) k=1,2,... sa druge. Dokažimo da su isve ostale tačke skupaMsa jedne tačke X, a sve ostale tačke skupaN sa druge.Tačka X pripada samo jednom od skupova M i N , recimo skupu N . Ako jeN ∈ N proizvoljna tačka različita odX, tada je ona sa straneX sa koje su i tačkeniza (N k ) k=1,2,... . Zaista, ako bi bilo B(N,X,N k ), tačka N bi bila sa one straneX sa koje su i tačke niza (M k ) k=1,2,... , pa bi, za dovoljno veliko k, tačka M k bilaizme ¯duN iX. Dakle, postojala bi tačka skupaMizme ¯du dviju tačaka skupaN .Ako je pak, M proizvoljna tačka skupa M, tada ne može biti B(M k ,X,M)jer bi postojala tačka skupa N izme ¯du dvaju tačaka skupa M. Dakle, postoji